Utilisateur:Ktz hulud/Brouillon condense
- → N'hésitez pas à publier sur le brouillon un texte inachevé et à le modifier autant que vous le souhaitez.
- → Pour enregistrer vos modifications au brouillon, il est nécessaire de cliquer sur le bouton bleu : « Publier les modifications ». Il n'y a pas d'enregistrement automatique.
Si votre but est de publier un nouvel article, votre brouillon doit respecter les points suivants :
- Respectez le droit d'auteur en créant un texte spécialement pour Wikipédia en français (pas de copier-coller venu d'ailleurs).
- Indiquez les éléments démontrant la notoriété du sujet (aide).
- Liez chaque fait présenté à une source de qualité (quelles sources – comment les insérer).
- Utilisez un ton neutre, qui ne soit ni orienté ni publicitaire (aide).
- Veillez également à structurer votre article, de manière à ce qu'il soit conforme aux autres pages de l'encyclopédie (structurer – mettre en page).
- → Si ces points sont respectés, pour transformer votre brouillon en article, utilisez le bouton « publier le brouillon » en haut à droite. Votre brouillon sera alors transféré dans l'espace encyclopédique.
Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.
Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.
En mathématiques, les mathématiques condensées (ou pyknotiques) sont un formalisme revisitant la notion d'espace topologique, afin de notamment permettre une utilisation souple et unifiée des techniques d'algèbre homologique sur les structures algébriques munies d'une topologie. Cela a des applications en géométrie algébrique, géométrie analytique complexe et non archimédienne, analyse fonctionnelle (réelle, complexe, non-archimédienne), en théorie de l'homotopie, K-théorie, théorie des représentations, programme de Langlands (Fargues-Scholze), théorie de Hodge p-adique, etc.
Introduit et développés par Dustin Clausen et Peter Scholze et indépendamment à la même période par Clark Barwick et Peter Haine, en 2019.
Formellement, cela consiste à travailler sur le site pro-étale d'un point géométrique, c'est-à-dire dans le topos formé des faisceaux (d'ensembles, de groupes abéliens, …) sur le site des espaces topologiques compacts, ou de façon équivalente, sur le site des ensembles profinis.
Approche très catégorique.
Intuition modifier
Remplacer un espace topologique par une "fonction test" depuis les compacts, qui sont les analogues en topologie des ensembles finis. -> travailler sur une catégorie de préfaisceaux, qui a des propriétés analogues à la catégorie des ensembles (ie topos), car on a des foncteurs à valeurs dans les ensembles. [reprendre la conf de Barwick]
Résoudre tout par des profinis. Par ex c'est ce qu'on fait quand on écrit les éléments de [0,1] comme des entiers décimaux, + quotients
Problèmes modifier
- Top pas cartésian closed
- Cat des groupes abéliens topologiques n'est pas abélienne
- quotients non séparés se comportent mal, par ex R/Q (qui est un monomorphisme et un épimorphisme dans la catégorie des espaces topologiques).
- produit tensoriel topologiques sont compliqués
- pas de formalisme des six foncteurs pour la cohomologie (quasi-)cohérente sur les schémas
- pas de faisceaux quasi-cohérents en géométrie rigide analytique ou complexe
Historique modifier
Site pro-étale avec Bhatt.
Préliminaires modifier
Préliminaires topologiques modifier
Ensembles profinis modifier
Ensembles extrêmement discontinus modifier
Espaces compactement engendrés modifier
Préliminaires faisceautiques modifier
Préliminaires catégoriques modifier
Générateurs modifier
Objets compacts modifier
Objets projectifs modifier
Ind-objets modifier
Objets condensés modifier
Site pro-étale du point modifier
Ensembles condensés modifier
Définition modifier
Ensembles condensés quasi-séparés modifier
Ensembles condensés quasi-compacts modifier
Comparaison avec la cohomologie usuelle des espaces topologiques modifier
Groupes abéliens condensés modifier
Groupes abéliens localement compacts modifier
Objets solides modifier
Objets liquides modifier
Anneaux analytiques modifier
Intuition modifier
Spécifier un anneau (condensé) + modules complets sur ce dernier, via la spécification d'un espace de mesure. Cette dernière est moins grosse que la catégorie de tous les modules condensés, et a de très bonnes propriétés (catégorie abélienne, stable par lim/colim/extensions, foncteur de complétion, idem au niveau dérivé etc). Module est complet ssi on peut intégrer selon les mesures.
Définition modifier
Structure solide modifier
Structure liquide modifier
Morphisme d'anneaux analytiques modifier
Changement de base modifier
Applications modifier
Cohomologie continue des groupes topologiques modifier
Espaces analytiques complexes modifier
Black box l'analyse dans la structure liquide. Preuve très formelle/catégorique du fait que faisceau des fonctions holomorphes est un faisceau, sans utiliser la formule de Cauchy ou la notion de fonction C^infini.
Références modifier
Voir aussi modifier
Article connexe modifier
Bibliographie modifier
Liens externes modifier
- (en) Peter Scholze, « Lectures on Condensed Mathematics », }
- (en) Peter Scholze, « Lectures on Analytic Geometry », }
- (en) Dustin Clausen et Peter Scholze, « Condensed Mathematics and Complex Geometry », }
- Barwick-Haine
- (en) « Masterclass in Condensed Mathematics », sur www.math.ku.dk, (consulté le )
Vous êtes ici sur la page personnelle d’un utilisateur de Wikipédia en français.
Cette page ne fait pas partie de l’espace encyclopédique de Wikipédia.
Si vous avez accédé à cette page depuis un autre site que celui de Wikipédia en français, c’est que vous êtes sur un site miroir ou un site qui fait de la réutilisation de contenu. Cette page n’est peut-être pas à jour et l’utilisateur identifié n’a probablement aucune affiliation avec le site sur lequel vous vous trouvez. L’original de cette page se trouve à l'adresse suivante : https://fr.wikipedia.org/wiki/Utilisateur:Ktz hulud/Brouillon condense.