Utilisateur:Ktz hulud/Brouillon condense

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En mathématiques, les mathématiques condensées (ou pyknotiques) sont un formalisme revisitant la notion d'espace topologique, afin de notamment permettre une utilisation souple et unifiée des techniques d'algèbre homologique sur les structures algébriques munies d'une topologie. Cela a des applications en géométrie algébrique, géométrie analytique complexe et non archimédienne, analyse fonctionnelle (réelle, complexe, non-archimédienne), en théorie de l'homotopie, K-théorie, théorie des représentations, programme de Langlands (Fargues-Scholze), théorie de Hodge p-adique, etc.

Introduit et développés par Dustin Clausen et Peter Scholze et indépendamment à la même période par Clark Barwick et Peter Haine, en 2019.

Formellement, cela consiste à travailler sur le site pro-étale d'un point géométrique, c'est-à-dire dans le topos formé des faisceaux (d'ensembles, de groupes abéliens, …) sur le site des espaces topologiques compacts, ou de façon équivalente, sur le site des ensembles profinis.

Approche très catégorique.

Intuition

Remplacer un espace topologique par une "fonction test" depuis les compacts, qui sont les analogues en topologie des ensembles finis. -> travailler sur une catégorie de préfaisceaux, qui a des propriétés analogues à la catégorie des ensembles (ie topos), car on a des foncteurs à valeurs dans les ensembles. [reprendre la conf de Barwick]

Résoudre tout par des profinis. Par ex c'est ce qu'on fait quand on écrit les éléments de [0,1] comme des entiers décimaux, + quotients

Problèmes

• Top pas cartésian closed
• Cat des groupes abéliens topologiques n'est pas abélienne
• quotients non séparés se comportent mal, par ex R/Q (qui est un monomorphisme et un épimorphisme dans la catégorie des espaces topologiques).
• produit tensoriel topologiques sont compliqués
• pas de formalisme des six foncteurs pour la cohomologie (quasi-)cohérente sur les schémas
• pas de faisceaux quasi-cohérents en géométrie rigide analytique ou complexe

Historique

Site pro-étale avec Bhatt.

Préliminaires

Objets condensés

Anneaux analytiques

Intuition

Spécifier un anneau (condensé) + modules complets sur ce dernier, via la spécification d'un espace de mesure. Cette dernière est moins grosse que la catégorie de tous les modules condensés, et a de très bonnes propriétés (catégorie abélienne, stable par lim/colim/extensions, foncteur de complétion, idem au niveau dérivé etc). Module est complet ssi on peut intégrer selon les mesures.

Applications

Espaces analytiques complexes

Black box l'analyse dans la structure liquide. Preuve très formelle/catégorique du fait que faisceau des fonctions holomorphes est un faisceau, sans utiliser la formule de Cauchy ou la notion de fonction C^infini.

Voir aussi

Liens externes

• (en) Peter Scholze, « Lectures on Condensed Mathematics », 2019}
• (en) Peter Scholze, « Lectures on Analytic Geometry », 2020}
• (en) Dustin Clausen et Peter Scholze, « Condensed Mathematics and Complex Geometry », 2022}
• Barwick-Haine
• (en) « Masterclass in Condensed Mathematics », sur www.math.ku.dk, 9 novembre 2020 (consulté le 21 juin 2021)