En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des catégories, un objet exponentiel est un équivalent catégorique à un espace fonctionnel en théorie des ensembles. Les catégories avec tous les produits finis et tous les objets exponentiels sont appelées catégories cartésiennes fermées. Un objet exponentiel peut aussi être appelé un objet puissance ou objet des morphismes.

DéfinitionModifier

Soit C une catégorie avec produits et soient Y et Z des objets de C. L'objet exponentiel ZY peut être défini comme un morphisme universel du foncteur –×Y à Z. (Le foncteur –×Y de C dans C envoie l'objet X sur X×Y et le morphisme φ sur φ×idY).

Explicitement, un objet ZY avec un morphisme   est un objet exponentiel si pour tout objet X et tout morphisme g : (X×Y) → Z il existe un unique morphisme   tel que le diagramme suivant commute :

Si l'objet exponentiel ZY existe pour tous les objets Z dans C, alors le foncteur qui envoie Z sur ZY est un adjoint à droite du foncteur –×Y. Dans ce cas, il y a une bijection naturelle entre les ensembles des morphismes

 

Les morphismes   et   sont parfois appelés adjoints exponentiels[1].

On remarque que pour   dans la catégorie des ensembles,  [2].

ExemplesModifier

  • Dans la catégorie des ensembles, l'objet exponentiel   est l'ensemble de toutes les applications de   dans  . L'application   est l'application évaluation qui envoie la paire (f, y) sur f(y). Pour toute application  , l'application   est la forme curryfiée de g :
 
  • Dans la catégorie des espaces topologiques, l'objet exponentiel ZY existe si Y est un espace localement compact. Dans ce cas, l'espace ZY est l'ensemble de toutes les applications continues de Y dans Z muni de la topologie compacte-ouverte. L'application evaluation est la même que pour la catégorie des ensembles. Si Y n'est pas localement compact, l'objet exponentiel peut ne pas exister (l'espace ZY existe toujours mais n'est pas forcément un objet exponentiel car l'évaluation peut ne pas être continue). Pour cette raison, la catégorie des espaces topologique n'est pas cartésienne fermée.

RéférencesModifier

  • (en) Jiří Adámek, Horst Herrlich et George Strecker, Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats), John Wiley & Sons, (1re éd. 1990) (lire en ligne)
  • (en) Robert Goldblatt, Topoi : the categorial analysis of logic, North-Holland, coll. « Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98 », (ISBN 978-0-444-86711-7), « Chapter 3: Arrows instead of epsilon », p. 72
  • (en) Saunders Mac Lane, categories for the working mathematician, Springer-Verlag, coll. « graduate texts in mathematics », (ISBN 978-0387984032, lire en ligne), « Chapter 4: Adjoints », p. 98
  • Liens externesModifier

    • Page web intéractive écrite par Jocelyn Paine qui génère des exemples d'objets exponentiels et d'autres constructions catégoriques.