Catégorie fermée

Catégorie dotée d'un foncteur Hom interne

En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des catégories, une catégorie fermée (ou close) est une catégorie d'un type particulier. Elles ont été introduites en 1965 par Samuel Eilenberg et Max Kelly[1], formalisant et clarifiant des efforts antérieurs de Mac Lane[2], Bénabou[3], Kelly[4] et Linton[5].

En général, les morphismes d'une catégorie qui relient deux objets et forment seulement un ensemble, noté . Il peut donc s'agir d'un objet « extérieur » à la catégorie. Une catégorie est fermée lorsqu'il existe un foncteur « interne », c'est-à-dire qui peut lui-même être considéré comme un objet de la catégorie en question.

L'adjectif fermé apparaît ailleurs en théorie des catégories, notamment dans les catégories cartésiennes fermées, avec un sens a priori différent.

DéfinitionModifier

Une catégorie   est dite fermée lorsqu'elle peut être dotée des éléments suivants[1] :

  • Un foncteur Hom interne, c'est-à-dire un foncteur  . Comme évoqué en introduction, ce foncteur joue le rôle du foncteur Hom classique.
  • Un objet unité   et un isomorphisme naturel  . On transporte ainsi les identités au sens du foncteur Hom classique vers les identités au sens du foncteur Hom interne.

On ajoute à cela trois prérequis supplémentaires[Note 1],[6] :

  • Il existe une transformation  qui est transformation extranaturelle (en) en  .
  • Il existe une transformation   qui est naturel en   et extranaturelle en  . Celle-ci correspond à une loi de composition. Lorsqu'une notion de produit interne est déjà disponible, par exemple dans une catégorie monoïdale, on peut s'appuyer sur ce produit plutôt qu'introduire la transformation  [7].
  • Il y a une bijection   donnée par  .

ExemplesModifier

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. Cette définition, bien qu'en apparence plus générale, plus simple, et différente de celle initialement proposée par Eilenberg et Kelly, lui est équivalente. Voir (Manziuk 2012) pour une preuve et discussion.
  2. Il y a ici deux sens différents au terme « fermé ».
  3. Ici encore, les deux sens de « fermé » sont a priori différents.

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Samuel Eilenberg et G. Max Kelly, « Closed categories », Proceedings of the Conference on Categorical Algebra,‎ , p. 421-562 (lire en ligne)
  2. (en-US) Saunders MacLane, « Categorical algebra », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 71, no 1,‎ , p. 40–106 (ISSN 0002-9904 et 1936-881X, DOI 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4, lire en ligne, consulté le )
  3. Jean Bénabou, Catégories relatives. C. R. Acad. Sci. Paris 260 3824–3827, (1965)
  4. (en) G. Max Kelly, « Tensor products in categories », Journal of Algebra, vol. 2, no 1,‎ , p. 15–37 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90022-0, lire en ligne, consulté le )
  5. (en) F. E. J. Linton, « Autonomous categories and duality of functors », Journal of Algebra, vol. 2, no 3,‎ , p. 315–349 (ISSN 0021-8693, DOI 10.1016/0021-8693(65)90013-x, lire en ligne, consulté le )
  6. (en) O. Manzyuk, Closed categories vs closed multicategories, Theory and Applications of Categories, Vol. 26, No. 5, 2012, pp. 132–175. pdf
  7. (en-US) Miguel L. Laplaza, « Embedding of closed categories into monoidal closed categories », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 233,‎ , p. 85–91 (ISSN 0002-9947 et 1088-6850, DOI 10.1090/S0002-9947-1977-0480686-8, lire en ligne, consulté le )
  8. (en-GB) John W. Gray, « Formal Category Theory: Adjointness for 2-Categories », Lecture Notes in Mathematics,‎ (ISSN 0075-8434 et 1617-9692, DOI 10.1007/bfb0061280, lire en ligne, consulté le )
  9. (en) Richard Steiner, « Omega-categories and chain complexes », Homology, Homotopy and Applications, vol. 6, no 1,‎ , p. 175–200 (ISSN 1532-0073 et 1532-0081, DOI 10.4310/hha.2004.v6.n1.a12, lire en ligne, consulté le )