Catégorie enrichie

Une catégorie enrichie sur une catégorie monoïdale , ou -catégorie est une extension du concept mathématique de catégorie, où les morphismes, au lieu de former une classe ou un ensemble dépourvu de structure, sont des éléments de .

MotivationModifier

Le concept de catégorie enrichie part de l'observation que dans de nombreuses situations, les morphismes ont une structure naturelle d'espace vectoriel ou topologique. La catégorie   doit être monoïdale afin de pouvoir définir la composition des morphismes, appelés dans ce cas hom-objets au lieu de hom-sets.

DéfinitionModifier

Une catégorie   enrichie sur  , où   est une catégorie monoïdale, est la donnée des éléments suivants :

  • Un ensemble d'objets   ;
  • Pour toute paire d'objets x, y, un objet de   appelé hom-objet et noté   ;
  • Pour tout triplet d'objets de  , un morphisme dans  , dit de composition :  
  • Pour tout objet a de  , un morphisme   dit d'identité, où 1 est l'unité du produit tensoriel dans  
  • Les diagrammes commutatifs correspondant à l'associativité de la composition, et au bon comportement des morphismes identité dans cette composition.

ExemplesModifier

RéférencesModifier