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Catégorie concrète

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une catégorie concrète sur une catégorie est un couple est une catégorie et est un foncteur fidèle. Le foncteur est appelé le foncteur d'oubli et est appelée la catégorie base pour . Si n'est pas précisée, il est sous-entendu qu'il s'agit de la catégorie des ensembles . Dans ce cas, les objets de la catégorie sont des ensembles munis de certaines structures, et les morphismes de cette catégorie sont les morphismes entre ensembles munis de ces structures. C'est cette structure que fait disparaître le foncteur d'oubli. À l'inverse, de nombreuses catégories utilisées en mathématiques sont construites à partir de la catégorie des ensembles en définissant des structures sur les ensembles et en munissant les ensembles de ces structures[1]. Ces constructions constituent, avec les identifications appropriées, des catégories concrètes.

ExemplesModifier

La catégorie   des espaces vectoriels à gauche sur K a pour objets les K-espaces vectoriels à gauche et pour morphismes les applications K-linéaires. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace vectoriel l'ensemble sous-jacent et à une application K-linéaire l'application sous-jacente.

La catégorie   des espaces topologiques a pour objets les espaces topologiques et pour morphismes les applications continues. Cette catégorie est concrète, le foncteur d'oubli faisant correspondre à un espace topologique l'ensemble sous-jacent et à une application continue l'application sous-jacente.

La catégorie   des espaces vectoriels topologiques sur un corps topologique K et des applications K-linéaires continues peut être considérée comme une catégorie concrète ayant différentes bases, à savoir :

  • la catégorie   ;
  • la catégorie   ;
  • la catégorie  .

Foncteur concretModifier

Si   et   sont deux catégories concrètes sur une même base  , un foncteur concret de   dans   est un foncteur   tel que  . On écrit alors  .

Un isomorphisme concret   est un foncteur entre catégories concrètes sur   qui est un isomorphisme de catégories. On identifie en pratique les catégories concrètes concrètement isomorphes.

Par exemple, les espaces topologiques peuvent être décrits de plusieurs manières : par les ensembles ouverts, par les voisinages, par les filtres convergents, etc. Ce sont là des constructions différentes, mais les catégories concrètes correspondantes sont concrètement isomorphes, donc peuvent être identifiées, et c'est ainsi qu'on obtient la catégories concrète   et la structure d'espace topologique.

Structures initialesModifier

Notations et terminologieModifier

Soit   une catégorie concrète de base  . Pour alléger les écritures, on notera   cette catégorie concrète et   le foncteur d'oubli. Pour éviter les confusions, si   est un morphisme de  , on appellera B son domaine et A son codomaine. L'expression «   est un  -morphisme » signifie que pour le  -morphisme  , il existe un  -morphisme (nécessairement unique, et également noté f) tel que  .

StructuresModifier

On parle en Algèbre des structures de groupe, d'anneau, de corps, d'espace vectoriel, etc. On parle en Analyse des structures d'espace topologique, d'espace uniforme, d'espace métrique, etc. Un groupe, par exemple, est un ensemble muni d'une structure de groupe, et le foncteur d'oubli fait justement « oublier » cette structure. La notion de structure dans le cadre des catégories concrètes peut être précisée comme suit[2] :

Lemme — La relation « A et B sont des objets de la catégorie concrète   tels que   et A et B sont isomorphes » est une relation d'équivalence  .

Définition — On appelle structure d'un objet A de   la classe A pour la relation d'équivalence  . On dit que « A a la structure   » si   est la classe d'équivalence de A pour la relation  .

Comparaison des structuresModifier

Soit A et B des objets de  . On dira que A a une structure plus fine que B (et que B a une structure moins fine que A) si   et s'il existe un  -morphisme (nécessairement unique)   tel que  .

Théorème — Si A a une structure moins fine que B et B a une structure moins fine que A, alors A et B ont même structure.

SourcesModifier

Une source dans   est une famille de morphismes   de  . L'objet A et la famille d'objets   sont appelés respectivement le domaine et le codomaine de  . Le codomaine est parfois sous-entendu et on écrit alors  .

La source   est une mono-source si elle est simplifiable à gauche, c'est-à-dire si pour tout couple de morphismes  , la relation   (ce qui signifie   équivaut à  . Lorsque I est un singleton (mathématiques), on retrouve la notion usuelle de monomorphisme.

Sources initiales et structures initialesModifier

La source   est dite initiale si la condition suivante est satisfaite : pour tout objet B de  , la relation

«   est un  -morphisme »

équivaut à la relation

« quel que soit  ,   est un  -morphisme ».

Définition — Si la source   est initiale, la structure de A est dite initiale pour la famille  .

Théorème — Si A a une structure initiale pour la famille  , A a la moins fine des structures pour lesquelles les   sont tous des  -morphismes ; cette dernière propriété détermine la structure de A de manière unique.

ExemplesModifier

La réciproque est du théorème ci-dessus est fausse en général (cf. Bourbaki 1970, exerc. 6, p. IV.30). Néanmoins, dans   elle est exacte : une source   dans   est initiale si, et seulement si la topologie de A est la moins fine rendant les   continues. En particulier, si E est un espace topologique, F est un sous-ensemble de E et   est l'injection canonique,   est une source dans   si, et seulement si   est continue, donc si la topologie de F est plus fine que celle de E. Cette source est initiale si, et seulement si cette topologie est la moins fine de celles qui rendent   continue, autrement dit la topologie induite sur F par celle de E.

Dans la catégorie  , une source est initiale si, et seulement si elle est une mono-source. En particulier, en considérant le cas où I est un singleton, un morphisme de   (c'est-à-dire une application K-linéaire) est initial si, et seulement s'il est injectif.

Produits concretsModifier

Une source   dans une catégorie   est appelée un produit si pour toute source   (ayant le même codomaine que  ), il existe un morphisme unique   tel que  . Un produit ayant pour codomaine   est appelé un produit de la famille  .

Si   est une catégorie concrète de base  , un produit   est dit concret si   est un produit dans  . Il est immédiat qu'une source dans   est un produit concret si et seulement si cette source est initiale et   est un produit dans  .

Les catégories   et  , la catégorie des groupes, celle des groupes abéliens, celle des anneaux, celle des monoïdes, celle des modules à gauche sur un anneau, etc., admettent des produits. Soit   une famille d'objets, et formons le produit   dans la catégorie des ensembles. On obtient le produit concret   dans ces catégories concrètes en munissant l'ensemble   de la structure initiale relativement à la famille   : cela détermine l'objet   de la catégorie considérée.

La construction précédente ne s'applique pas, par exemple, à la catégorie   des espaces de Banach. Bien qu'elle soit concrète de base  , cette catégorie admet des produits qui ne peuvent obtenus de cette manière quand ils sont infinis. Ces produits ne sont donc pas concrets.

PuitsModifier

La notion de puits est duale de celle de source (la définition d'un puits s'obtient donc à partir de celle d'une source en « inversant le sens des flèches »). On obtient les correspondances suivantes :

 

Le coproduit d'une famille   dans la catégorie des ensembles est la réunion disjointe  .

Dans la catégorie concrète  , le coproduit de la famille d'espaces topologiques   est la réunion disjointe   muni de la topologie finale, c'est-à-dire la topologie la plus fine pour laquelle les injections canoniques   sont toutes continues. Par conséquent,   admet des coproduits concrets.

La catégorie des groupes admet des coproduits, à savoir les produits libres, mais, bien que cette catégorie soit concrète de base  , ce ne sont pas des coproduits concrets.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. C'est d'une manière complètement analogue que Bourbaki 1970, p. IV.4 construit une structure, mais dans un cadre qui n'est pas celui des catégories.
  2. Les définitions, lemmes, théorèmes encadrés qui suivent, et leurs démonstrations, sont extraits de Bourlès 2015

RéférencesModifier

  • (en) Jirí Adámek, Horst Herrlich et George E. Strecker, Abstract and Concrete Categories, (lire en ligne)
  • N. Bourbaki, Éléments de mathématique - Livre I : Théorie des ensembles, Hermann,
  • (en) Henri Bourlès, « Structures in Concrete Categories », ArXiv, no 1509.08737,‎ (lire en ligne)
  • (en) Louis D. Nel, « Initially Structured Categories and Cartesian Products », Canadian Journal of Mathematics, vol. 27, no 6,‎ , p. 1361-1377 (lire en ligne)