Isomorphisme de catégories
Notion de mathématique en théorie des catégories
En théorie des catégories, deux catégories et sont isomorphes s'il existe deux foncteurs F : → et G : → tels que l'un est inverse de l'autre, c'est-à-dire tels que FG = 1D (le foncteur identité de ) et GF = 1C.
Cette notion, assez restrictive, peut être élargie en la notion d'équivalence de catégories.
Exemple
modifierSoit la catégorie des espaces topologiques munis d'une topologie d'Alexandroff, et la catégorie des ensembles munis d'un préordre. Alors les deux catégories sont isomorphes au moyen des deux foncteurs suivants :
- F associe à un espace topologique le même espace, muni de la relation de préordre suivante : si et seulement si x est adhérent à {y}. F transforme une application continue f de X dans Y en la même application, mais vue comme application croissante de F(X) dans F(Y).
- G associe à un espace préordonné le même espace muni de la topologie engendrée par les ouverts . G transforme une application croissante f de A dans B en la même application, mais vue comme application continue de G(A) dans G(B).