Foncteur plein et fidèle

En théorie des catégories, un foncteur plein (respectivement fidèle) est un foncteur dont la restriction à chacun des ensembles de morphismes est surjectif (respectivement injectif).

DéfinitionModifier

Soient C et D deux catégories et F : CD un foncteur de C dans D. Pour X et Y des objets de C, le foncteur F induit une fonction

 

Le foncteur F est dit :

PropriétésModifier

Un foncteur fidèle n'a pas nécessairement besoin d'être injectif sur les objets ou les morphismes des catégories mises en jeu. Deux objets X et X' peuvent s'envoyer sur le même objet dans D (c'est la raison pour laquelle l'image d'un foncteur pleinement fidèle n'est pas forcément isomorphe à son domaine), et deux morphismes f : XY et f' : X'Y' peuvent s'envoyer sur le même morphisme dans D. De la même manière, un foncteur plein n'est pas forcément surjectif sur les objets ou sur les morphismes. Il peut y avoir des objets de D qui ne sont pas de la forme FX avec X dans C, et des morphismes entre ces objets ne peuvent alors par être image d'un morphisme de C.

Un foncteur pleinement fidèle est cependant injectif à isomorphisme près sur les objets. C'est-à-dire que si F : CD est pleinement fidèle et   alors  .

ExemplesModifier

Une catégorie avec un foncteur fidèle vers Set est (par définition) une catégorie concrète et en général, ce foncteur d'oubli n'est pas plein.

  • Le foncteur d'inclusion AbGrp, de la catégorie des groupes abéliens vers celle des groupes, est pleinement fidèle, car tout morphisme de groupes abéliens est un morphisme de groupes et tout morphisme de groupes entre deux groupes abéliens est un morphisme de groupes abéliens.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Full and faithful functors » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition], p. 14-15.
  2. a et b (en) Nathan Jacobson, Basic Algebra, vol. 2, Dover, , 2e éd. (ISBN 978-0-486-47187-7), p. 22.

Article connexeModifier

Équivalence de catégories