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Foncteur

généralisation d'un morphisme mathématique

En mathématiques, le foncteur est la généralisation aux catégories de la notion de morphisme.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Un foncteur (ou foncteur covariant) F :    d'une catégorie   dans une catégorie   est la donnée

  • d'une fonction qui, à tout objet X de  , associe un objet F(X) de  ,
  • d'une fonction qui, à tout morphisme f : XY de  , associe un morphisme F(f) : F(X) → F(Y) de  ,

qui

  • respectent les identités : pour tout objet X de  , 
  • respectent la composition : pour tous objets X, Y et Z et morphismes f : XY et g : YZ de  , 

Un foncteur contravariant G d'une catégorie   dans une catégorie   est un foncteur covariant de la catégorie opposée  op dans  . À tout morphisme f : XY de  , il associe donc un morphisme G(f) : G(Y) → G(X) de  , et l'on a la « relation de compatibilité » G(gf) = G(f) ∘ G(g).

ExemplesModifier

  • Le foncteur identité d'une catégorie  , souvent noté 1  ou id  :   , qui envoie chaque objet et morphisme de   sur lui-même.
  • Les foncteurs d'oubli qui envoient les objets d'une catégorie sur des objets d'une autre catégorie en « oubliant » certaines propriétés de ces objets :
    • le foncteur de Ab dans Grp qui à un groupe abélien associe le groupe lui-même, mais dans la catégorie qui contient aussi les groupes non abéliens (on a « oublié » le fait que le groupe est abélien). On a de même des foncteurs d'oubli[1] de Grp dans la catégorie Mon des monoïdes et dans celle des H-espaces (en), et de Ab dans la catégorie des monoïdes commutatifs ;
    • le foncteur de Grp dans Set qui à un groupe associe son ensemble sous-jacent (on a « oublié » la structure de groupe).
  • Pour tout objet X d'une catégorie   localement petite, les deux foncteurs Hom :  Set : Y ↦ Hom (X, Y) (covariant) et Y ↦ Hom (Y, X) (contravariant).
  • Le foncteur constant est le foncteur qui envoie tous les objets de la catégorie de départ sur le même objet de la catégorie d'arrivée et qui envoie chaque flèche de la catégorie de départ sur l'identité de l'objet image. C'est l'objet terminal de la catégorie des foncteurs.
  • Entre deux monoïdes (qui sont des catégories à un seul objet), les foncteurs covariants sont simplement les morphismes de monoïdes.
  • Un foncteur défini d'une catégorie produit   vers une catégorie   est souvent appelé bifoncteur.

Propriétés de foncteursModifier

Foncteurs fidèles, pleins, pleinement fidèlesModifier

Article détaillé : Foncteur plein et fidèle.

On dit qu'un foncteur F :    est :

  • fidèle si deux morphismes f, g : XY dans   sont égaux dès que leurs images F(f), F(g) : F(X) → F(Y) dans   le sont ;
  • plein si tout morphisme F(X) → F(Y) est égal à un F(f) ;
  • pleinement fidèle s'il est à la fois fidèle et plein.
Exemples
  • Un morphisme de monoïdes (cf. dernier exemple ci-dessus) est fidèle si et seulement s'il est injectif, et plein si et seulement s'il est surjectif.
  • Les foncteurs d'oubli de Ab dans Grp et de Grp dans Mon sont pleinement fidèles.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est fidèle (mais pas plein) ; plus généralement, si F est l'inclusion d'une sous-catégorie   dans une catégorie  , alors il est fidèle.

Foncteurs conservatifsModifier

Trivialement, tout foncteur F :    préserve les isomorphismes, c'est-à-dire que si f est un isomorphisme dans   alors F(f) est un isomorphisme dans  .

Le foncteur F est dit conservatif si réciproquement, un morphisme f dans   est un isomorphisme dès que F(f) en est un dans  .

Exemples
  • Un morphisme F de monoïdes (cf. fin du § « Exemples » ci-dessus) est conservatif si et seulement si tout antécédent par F d'un élément inversible est inversible.
  • Tout foncteur pleinement fidèle est conservatif.
  • Le foncteur d'oubli de Grp dans Set est conservatif.

Foncteurs adjointsModifier

Article détaillé : Foncteur adjoint.

Soient   et   deux catégories, F un foncteur de   dans   et G de   dans  , tels que pour tout objet   et   on ait une bijection, naturelle en X et Y,

 

Alors F est dit adjoint à gauche de G, et G adjoint à droite de F.

Équivalence de catégoriesModifier

Un foncteur F :    est appelé une équivalence de catégories s'il existe un foncteur G :    et un isomorphisme naturel de foncteurs entre GF (resp. FG) et l'identité sur   (resp.  ). L'équivalence de catégories est une notion plus générale que celle d'isomorphisme de catégories.

RemarquesModifier

  • Les foncteurs sont parfois appelés morphismes pour la catégorie Cat des petites catégories.

Notes et référencesModifier

  1. (en) Horst Schubert (en), Categories, Springer, (lire en ligne), p. 241.

Voir aussiModifier