Endomorphisme

morphisme d'une structure algébrique dans elle-même

En mathématiques, un endomorphisme est un morphisme (ou homomorphisme) d'un objet mathématique dans lui-même. Ainsi, un endomorphisme d'espace vectoriel E est une application linéaire f : EE, et un endomorphisme de groupe G est un morphisme de groupes f : GG, etc. En général, nous pouvons parler d'endomorphisme de n'importe quelle catégorie.

Projection orthogonale sur une droite. Ceci est un exemple d'endomorphisme qui n'est pas un automorphisme.

Étant donné un objet X d'une catégorie C et deux endomorphismes f et g de X (donc de type XX), la composée de g par f, notée f ∘ g (prononcer f rond g), est aussi un endomorphisme de X (elle a aussi le type XX). Comme l'application identité de X est aussi un endomorphisme de X, nous voyons que l'ensemble de tous les endomorphismes de X forme un monoïde, noté EndC(X) ou simplement End(X), si la catégorie est connue.

Anneau des endomorphismes modifier

Dans de nombreuses situations, il est possible d'additionner les endomorphismes, et avec la composition des applications, les endomorphismes d'un objet donné forment un anneau, appelé l'anneau des endomorphismes (en) de l'objet. Cela est possible, par exemple, dans les catégories des groupes abéliens, des modules, des espaces vectoriels, et plus généralement dans toutes les catégories préadditives (en).

Automorphismes modifier

Un isomorphisme est un morphisme qui possède un morphisme réciproque.

Un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme est appelé un automorphisme.

On a donc les implications suivantes :

automorphisme isomorphisme
endomorphisme (homo)morphisme

Voir aussi modifier

Note modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Endomorphism » (voir la liste des auteurs).