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Isomorphisme

Morphisme bijectif (inversible) entre deux structures algébriques, permettant d'assimiler des structures mathématiques
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Isomorphisme (chimie) et Isomorphisme institutionnel.

En mathématiques, un isomorphisme entre deux ensembles structurés est une application bijective qui préserve la structure, et dont la réciproque préserve aussi la structure[1]. Plus généralement, en théorie des catégories, un isomorphisme entre deux objets est un morphisme admettant un « morphisme inverse » .

Exemple : sur l'intervalle [1,100] par exemple, des valeurs a, b, c... peuvent être remplacées par leur logarithme x, y, z..., et les relations d'ordre entre elles seront parfaitement conservées. On peut à tout moment retrouver les valeurs a, b et c en prenant les exponentielles de x, y et z.

D'autres termes peuvent être utilisés pour désigner un isomorphisme en spécifiant la structure, comme l'homéomorphisme entre espaces topologiques ou le difféomorphisme entre variétés.

Deux objets sont dits isomorphes s'il existe un isomorphisme de l'un vers l'autre. Dans certains contextes, un isomorphisme d'un objet sur lui-même est appelé un automorphisme.

DéfinitionsModifier

AlgèbreModifier

En algèbre, un isomorphisme est un morphisme admettant un inverse qui est lui-même un morphisme, ou plus simplement un morphisme bijectif.

C'est donc une bijection pour laquelle les relations « algébriques » entre les éléments de l'ensemble d'arrivée sont les mêmes que celles entre leurs antécédents respectifs (la structure algébrique est préservée). Ce « méta-concept » mathématique admet une définition formelle en théorie des catégories.

CatégorieModifier

Dans une catégorie donnée, un isomorphisme est un morphisme   tel qu'il existe un morphisme   qui soit « inverse » de   à la fois à gauche   et à droite  

Il suffit pour cela que f possède d'une part un « inverse à gauche »   et d'autre part un « inverse à droite »  . En effet, on a alors

 

ce qui prouve en outre l'unicité de l'inverse.

En revanche, l'une ou l'autre de ces deux conditions, à elle seule, ne suffit pas.

Théorie des modèlesModifier

En théorie des modèles, un homomorphisme concerne deux structures   et   dans un même langage  . Un homomorphisme   de   dans   est une application de   (l'univers ou domaine de  ) dans   qui satisfait les conditions suivantes :

  • pour tout entier  , pour tout prédicat   de   d'arité  , pour tout   de   :
      si et seulement si   ;
  • pour tout entier  , pour toute fonction   de   d'arité  , pour tout   de   :
      ;
  • pour toute constante   de   :
     .

Un homomorphisme bijectif est un isomorphisme. S'il existe un isomorphisme entre deux structures, on dit qu'elles sont isomorphes. Un important théorème assure qu'alors, pour tout entier  , tout prédicat   de   d'arité   et toute  -formule   :

  si et seulement si  .

En particulier, les deux structures satisfont les mêmes énoncés. Ainsi, deux structures isomorphes sont élémentairement équivalentes.

ExemplesModifier

Isomorphismes et morphismes bijectifsModifier

Dans une catégorie concrète (c'est-à-dire, grosso modo, une catégorie dont les objets sont des ensembles et les morphismes, des applications entre ces ensembles), comme la catégorie des espaces topologiques ou les catégories d'objets algébriques comme les groupes, les anneaux et les modules, un isomorphisme doit être bijectif. Dans les catégories algébriques (en particulier, les catégories des variétés au sens de l'algèbre universelle), un isomorphisme est un homomorphisme bijectif. Toutefois, il existe des catégories concrètes dans lesquelles les morphismes bijectifs ne sont pas nécessairement des isomorphismes (comme la catégorie des espaces topologiques), et dans certaines catégories où tout objet admet un ensemble sous-jacent, les isomorphismes ne sont pas forcément bijectifs (comme la catégorie d'homotopie des CW-complexes).

PropriétésModifier

Un isomorphisme est à la fois un épimorphisme et un monomorphisme, mais la réciproque est fausse en général : il existe des morphismes à la fois épiques et moniques qui ne sont pas des isomorphismes.

Pour plus de détails, voir : Propriétés des morphismes dans les catégories.

Objets isomorphesModifier

Deux objets reliés par un isomorphisme sont dits isomorphes.

Exemple : le groupe de Klein est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ.

Savoir que deux objets sont isomorphes présente un grand intérêt car cela permet de transposer des résultats et propriétés démontrés de l'un à l'autre.

Selon certains points de vue, deux objets isomorphes peuvent être considérés comme identiques, ou du moins indiscernables. En effet, bien souvent, les propriétés intéressantes d'un objet seront partagées par tous les objets isomorphes de la catégorie. Ainsi, on parle souvent d'unicité ou d'identité « à un isomorphisme près ».

NoteModifier

  1. Si, pour beaucoup de structures en algèbre, cette seconde condition est automatiquement remplie, ce n'est pas le cas en topologie par exemple où une bijection peut être continue sans que sa réciproque le soit.

Articles connexesModifier