Foncteur représentable

On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.

DéfinitionModifier

Soit   une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de   dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable si et seulement s'il existe un objet X de   tel que F soit isomorphe au foncteur  , respectivement au foncteur  .

Lemme de YonedaModifier

Les transformations naturelles de   dans F correspondent bijectivement aux éléments de  .

Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par   (où   est un élément de F(X)) lorsque   est un isomorphisme de foncteur.

Foncteurs covariants représentablesModifier

  • Somme

Soit   une catégorie, A et B deux objets de  . On considère le foncteur de   dans Ens qui à X associe  . Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.

Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui à un A-module   (respectivement toutes la ribambelle) associe   est représentable. On obtient le A-module libre  , respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif  , le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminéees.

  • Complété

Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.

Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.

Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de   dans G.

Foncteurs contravariants représentablesModifier

Soit   une catégorie, A et B deux objets de  . On considère le foncteur de   dans Ens qui à X associe  . Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.

Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des applications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.

Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur   est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.

RéférenceModifier

Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]