Foncteur représentable

propriété mathématique

On rencontre en mathématiques de nombreuses propriétés universelles. Le formalisme des catégories permet d'exprimer ces propriétés de façon très simple.

DéfinitionModifier

Soit   une catégorie localement petite et F un foncteur contravariant, respectivement covariant, de   dans Ens (catégorie des ensembles). On dit que F est représentable s'il existe un objet X de   tel que F soit isomorphe au foncteur  , respectivement au foncteur  .

Lemme de YonedaModifier

Les transformations naturelles de   dans F correspondent bijectivement aux éléments de  .

Ainsi, on dit que le foncteur F est représenté par   (où   est un élément de F(X)) lorsque   est un isomorphisme de foncteur.

Foncteurs covariants représentablesModifier

  • Somme

Soit   une catégorie, A et B deux objets de  . On considère le foncteur de   dans Ens qui à X associe  . Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle de la somme.

Soit I un ensemble et A un anneau commutatif. Le foncteur de la catégorie des A-module dans Ens (respectivement catégorie des groupes, des groupes commutatifs, des monoîdes, des A-algèbre) qui à un A-module   (respectivement toutes la ribambelle) associe   est représentable. On obtient le A-module libre  , respectivement, le groupe libre de base I, le groupe commutatif  , le monoïde libre des mots basé sur l'alphabet I, l'algèbre des polynômes dont I est l'ensemble des indéterminéees.

  • Complété

Soit E un espace métrique. Le foncteur de la catégorie des espaces métriques complets dans Ens qui à un espace métrique complet X associe Hom(E,X) est représenté par le complété de E.

Soit E un espace topologique. Le foncteur de la catégorie des espaces topologiques compacts dans Ens qui à un espace compact X associe Hom(E,X) est représenté par le compactifié de Stone-Čech de E.

Soit A un anneau commutatif unitaire et E et F deux A-modules. Le produit tensoriel de E et F représente le foncteur qui à un A-module G associe l'ensemble des applications bilinéaires de   dans G.

Foncteurs contravariants représentablesModifier

Soit   une catégorie, A et B deux objets de  . On considère le foncteur de   dans Ens qui à X associe  . Représenter ce foncteur correspond à la propriété universelle du produit.

Soit X un espace topologique et Y une partie de X. La topologie induite par X sur Y muni de l'injection canonique représente le foncteur de Top dans Ens qui à A associe l'ensemble des applications continues de A dans X dont l'image est incluse dans Y.

Soit X un espace topologique localement compact et Y un espace topologique. Le foncteur   est représenté par l'espace des fonctions continues de X dans Y muni de la topologie compacte-ouverte.

RéférenceModifier

Régine et Adrien Douady, Algèbre et théories galoisiennes [détail des éditions]