Catégorie des espaces topologiques

notion mathématique

En mathématiques, la catégorie des espaces topologiques est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés générales observées dans l'étude des espaces topologiques. Ce n'est pas la seule catégorie qui possède les espaces topologiques comme objet, et ses propriétés générales sont trop faibles ; cela motive la recherche de « meilleures » catégories d'espaces[1]. C'est un exemple de catégorie topologique.

DéfinitionModifier

La catégorie des espaces topologiques est la catégorie Top défini ainsi :

AdjonctionsModifier

On dispose du foncteur d'oubli de Top dans la catégorie des ensembles consistant à ignorer la topologie :

 

Ce foncteur forme un triplet d'adjonction

 

D munit l'ensemble considéré de la topologie discrète, et I le munit de la topologie grossière. Ces deux foncteurs forment des plongements pleins de Set dans Top.

Propriétés de la catégorie des espaces topologiquesModifier

Propriétés catégoriquesModifier

ObjetsModifier

MorphismesModifier

  • Les monomorphismes de Top sont les applications continues injectives ;
  • Les monomorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux plongements ;
  • Les épimorphismes de Top sont les applications continues surjectives ;
  • Les épimorphismes extrémaux sont réguliers et correspondent aux applications quotient ;
  • Les isomorphismes de Top sont les homéomorphismes ;
  • Top n'admet pas de morphisme zéro.

LimitesModifier

Voir aussiModifier

NotesModifier

RéférencesModifier