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Automorphisme

Isomorphisme d'une structure algébrique dans elle-même

Un automorphisme est un isomorphisme d'un objet mathématique X dans lui-même. Le plus souvent, c'est une bijection de X dans X qui préserve la « structure » de X. On peut le voir comme une symétrie de X. Les automorphismes de X forment un groupe.

Sommaire

DéfinitionModifier

La définition abstraite d'un automorphisme est la suivante : c'est un endomorphisme qui est en même temps un isomorphisme. Autrement dit, c'est un morphisme d'un objet X d'une catégorie donnée dans lui-même, qui est également un isomorphisme.

Cette définition est très générale et peut paraître assez abstraite. Dans les cas les plus fréquents cependant, elle se réduit à quelque chose de beaucoup plus concret. Par exemple, dans le cas d'une structure algébrique, un automorphisme sera simplement une application bijective qui préserve la ou les lois de composition définissant la structure.

L'ensemble des automorphismes d'un objet X est en général noté Aut(X), ou   lorsqu'on veut préciser que l'on se place dans la catégorie C. La composition de fonctions (ou des flèches dans le cadre général des catégories) donne à Aut(X) une structure de groupe : l'élément neutre est la fonction identité, et l'inverse d'un automorphisme est sa réciproque.

ExemplesModifier

Automorphismes intérieurs et extérieursModifier

Article détaillé : Automorphisme intérieur.

Si G est un groupe, ses automorphismes sont les morphismes bijectifs de G dans G.

Pour tout  , l'application   est un automorphisme de G. L'application   est alors un morphisme de groupes de G vers Aut(G). Son noyau est le centre de G. Son image, notée Int(G), est un sous-groupe normal de Aut(G), dont les éléments (les  ) sont appelés les automorphismes intérieurs de G. Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G) ; ses éléments sont appelés les automorphismes extérieurs de G.

Sous-groupe du groupe des automorphismesModifier

  • On peut parfois s'intéresser à un sous-groupe du groupe des automorphismes. L'un des premiers exemples marquants est celui d'un automorphisme de corps qui est l'identité sur un sous-corps; si K est le corps et L le sous-corps, un tel automorphisme s'appelle un K-automorphisme de L. Ce concept a abouti à la théorie de Galois.
  • Si l'on a un morphisme, f, de A dans B on peut s'intéresser aux automorphismes de A qui sont compatibles avec f. On obtient ainsi le concept de morphisme au-dessus d'un objet, concept très présent dans la géométrie algébrique. Si le morphisme f est un revêtement on retrouve la théorie de Galois liée aux revêtements.
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Automorphism » (voir la liste des auteurs).