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Catégorie dérivée

La catégorie dérivée d'une catégorie est une construction, originellement introduite par Jean-Louis Verdier dans sa thèse et reprise dans SGA 4½, qui permet notamment de raffiner et simplifier la théorie des foncteurs dérivés.

Elle a amené à plusieurs développements importants, ainsi que des reformulations élégantes par exemple de la théorie des D-modules et des preuves de la correspondance de Riemann-Hilbert (en) qui généralise le vingt-et-unième problème de Hilbert. En particulier, le langage des catégories dérivées permet de simplifier des problèmes exprimés en termes de suites spectrales.

Cette construction met également à jour la dualité de Verdier (en), une généralisation de celle de Poincaré et de celle d'Alexander.

ConstructionModifier

Soit A une catégorie abélienne. On note   la catégorie (additive) des complexes de chaînes sur A. On note   la catégorie (additive) dont les objets sont ceux de   et les morphismes sont les classes de morphismes de   équivalents par homotopie.   est en particulier une catégorie triangulée.

Si on note   des objets de   (ce sont des complexes de chaînes), un morphisme   est appelé quasi-isomorphisme s'il induit un isomorphisme en cohomologie. On note Q la collection des quasi-isomorphismes, alors la catégorie dérivée   de A est la localisation (en) de   par Q.

En se restreignant aux complexes bornés inférieurement, supérieurement ou bornés, on construit respectivement  ,   et  

Il est également possible de définir la catégorie dérivée d'une catégorie exacte.

Lien avec les foncteurs dérivésModifier

La catégorie dérivée est un objet dont les morphismes ne peuvent pas en général être manipulés aisément, au contraire de la catégorie  . Il existe un foncteur canonique

 .

Si   est un foncteur, on dit que le foncteur dérivé à droite   existe si le foncteur   est représentable. Alors

 

en est un représentant et coïncide avec la définition usuelle. Le foncteur dérivé à gauche   est défini de manière duale.

Le foncteur   est une équivalence de catégories si on le restreint à une sous-catégorie  . En supposant que A possède assez d'injectifs on peut utiliser une résolution injective (ou, de manière duale, s'il y a assez d'objets projectifs, considérer une résolution projective), et définir à partir d'elle un foncteur dérivé à droite (respectivement, à gauche) pour tout foncteur exact à gauche (respectivement, à droite). On définit alors les foncteurs   et  

Articles connexesModifier

RéférencesModifier