Lemme de Yoneda

En théorie des catégories, le lemme de Yoneda, attribué au mathématicien japonais Nobuo Yoneda, est un théorème de plongement d'une catégorie localement petite[1] dans une catégorie de foncteurs : les objets de sont identifiés aux foncteurs représentables, et les morphismes de à toutes les transformations naturelles entre ces foncteurs. C'est une vaste généralisation du théorème de Cayley pour les groupes (vus comme des petites catégories à un seul objet)[2]. Une des conséquences du lemme de Yoneda est le théorème des modèles acycliques (en), qui a de nombreuses utilisations en homologie et en géométrie algébrique.

Lemme de YonedaModifier

Soit   une catégorie localement petite, c'est-à-dire dans laquelle, pour tous objets A et X, les morphismes de A dans X forment un ensemble et pas seulement une classe.

  • Un objet A de   définit un foncteur Hom covariant hA de   dans la catégorie Ens des ensembles par :
     
     
    De la sorte, on dispose d'un foncteur contravariant h de   dans la catégorie Fun( , Ens) des foncteurs covariants de   dans Ens. Tout morphisme de A dans B dans la catégorie   induit une transformation naturelle de hB dans hA. Le lemme de Yoneda affirme que toute transformation naturelle de hB dans hA est de cette forme ; mieux, il caractérise l'ensemble des transformations naturelles de hA dans n'importe quel foncteur de   dans Ens.
    Le lemme de Yoneda montre que le foncteur contravariant h est pleinement fidèle ; la catégorie duale  op se trouve ainsi plongée dans Fun( , Ens).
  • En remplaçant   par  op, on en déduit une version similaire, concernant le foncteur covariant h : AhA = Hom (–, A), de   dans la catégorie de préfaisceaux Fun( op, Ens), c'est-à-dire la catégorie des foncteurs contravariants de   dans Ens. Ce foncteur h, appelé le plongement de Yoneda, plonge canoniquement   dans la catégorie Fun( op, Ens), qui a l'intérêt d'être cocomplète (en), c'est-à-dire de posséder toutes les petites colimites. Il s'agit de la « cocomplétion universelle » de  .

Dans la suite, il ne sera question que de la première version.

ÉnoncéModifier

Lemme de Yoneda — Pour tout objet A de  , toute transformation naturelle   de hA sur un foncteur T :  Ens est uniquement déterminée par l'élément de T(A) défini comme l'image de   par  . Plus précisément, on dispose d'une bijection :

 
 

En particulier, pour tous objets A et B de  , on a :

 

PreuveModifier

InjectivitéModifier

Avec les notations ci-dessus, considérons   une transformation naturelle de hA sur T. Pour tout élément   dans  , on a :

 

En appliquant à cette identité l'application ensembliste  , on obtient :

 

où la seconde égalité vient de la définition d'une transformation naturelle. L'élément   est donc l'image de   par  . De fait, en faisant varier f, on montre que   est uniquement déterminé par  . L'application énoncée est injective.

SurjectivitéModifier

Soit un élément v de T(A). La preuve de l'injectivité permet de deviner un antécédent de v (forcément unique). Pour tout objet B de C, définissons :

 
 

Vérifions que   est bien une transformation naturelle. Pour toute flèche g : BC et pour tout élément f de hA(B), on est en mesure d'écrire :

 

Or, la composée g.f peut être regardée comme l'image de f par hA(g). Donc, l'identité obtenue se réécrit :

 

En faisant varier f :

 

Cela étant vérifié pour toute flèche g,   est bien une transformation naturelle de hA sur T et son image est presque par définition v (on l'a défini pour).

Notes et référencesModifier

  1. (en) Roy L. Crole, Categories for Types, CUP, , 335 p. (ISBN 978-0-521-45701-9, lire en ligne), p. 63-64.
  2. Crole 1993, p. 66.

Article connexeModifier

Théorème de représentabilité de Brown (en)