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Morphisme

application (flèche) entre deux objet d'un categorie

En mathématiques, le terme « morphisme » désigne une notion fondamentale permettant de comparer et de relier des objets mathématiques entre eux.

En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respecte certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.

Plus généralement, la notion de morphisme est l'un des concepts de base en théorie des catégories ; ce n'est alors pas forcément une application, mais une « flèche » reliant deux « objets » ou « structures » qui ne sont pas forcément des ensembles.

DéfinitionsModifier

Cas général (théorie des modèles)Modifier

Soient   et   deux  -structures, d'ensembles respectifs   et  . Un morphisme de   dans   est une application   de   dans   telle que :

  • pour tout symbole de fonction  -aire   et pour tout   on a   (y compris pour n = 0, qui correspond au cas des constantes) ;
  • pour tout symbole de relation  -aire   et pour tout  , si   alors  

  désignant l'interprétation du symbole   dans la structure  .

Cas des monoïdesModifier

Article détaillé : Morphisme de monoïdes.

Dans la catégorie des monoïdes, un morphisme est une application  , entre deux monoïdes   et  , qui vérifie[1] :

  •   ;
  •  .

Cas des groupesModifier

Article détaillé : Morphisme de groupes.

Dans la catégorie des groupes, un morphisme est une application  , entre deux groupes   et  , qui vérifie :

  •  .

On se contente de cette unique condition car elle a pour conséquence   et  .

Cas des anneauxModifier

Article détaillé : Morphisme d'anneaux.

Dans la catégorie des anneaux, un morphisme est une application   entre deux anneaux (unitaires), qui vérifie les trois conditions :

  •   ;
  •   ;
  •  .

dans lesquelles  ,   et   (respectivement  ,   et  ) désignent les opérations et neutre multiplicatif respectifs des deux anneaux   et  .

Cas des espaces vectorielsModifier

Article détaillé : Application linéaire.

Dans la catégorie des espaces vectoriels (en) sur un corps K fixé, un morphisme est une application  , entre deux K-espaces vectoriels   et  , qui est linéaire c'est-à-dire qui vérifie :

  •   est un morphisme de groupes de   dans   ;
  •  ,

ce qui est équivalent à :

 .

Cas des algèbresModifier

Dans le cas de deux  -algèbres unifères   et  , un morphisme vérifie :

  •   est une application linéaire de   dans   ;
  •   est un morphisme d’anneaux,

ce qui est équivalent à :

  •   ;
  •   ;
  •  .

Cas des ensembles ordonnésModifier

Un morphisme entre deux ensembles ordonnés ( A, ⊑ ) et ( B, ≼ ) est une application f de A dans B croissante (qui préserve l'ordre), c'est-à-dire qui vérifie : pour tous x et y dans A tels que xy, on a f(x) ≼ f(y)[1],[2],[3].

La définition des morphismes d'ensembles préordonnés est identique[1].

Cas des espaces topologiquesModifier

Article détaillé : Application continue.

Dans la catégorie des espaces topologiques, un morphisme est simplement une application continue entre deux espaces topologiques. Dans le cadre topologique, le mot « morphisme » n'est pas utilisé, mais c'est le même concept.

Cas des espaces mesurablesModifier

Article détaillé : Fonction mesurable.

Dans la catégorie des espaces mesurables, un morphisme est une fonction mesurable.

ClassementModifier

  • Un endomorphisme est un morphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un isomorphisme est un morphisme   entre deux ensembles munis de la même espèce de structure, tel qu'il existe un morphisme   dans le sens inverse, tels que   et   sont les identités des structures ;
  • un automorphisme est un isomorphisme d'une structure dans elle-même ;
  • un épimorphisme (ou morphisme épique) est un morphisme   tel que : pour tout couple   de morphismes de type   (et donc aussi pour tout  ), si  , alors   ;
  • un monomorphisme (ou morphisme monique) est un morphisme   tel que : pour tout couple   de morphismes de type   (et donc aussi pour tout  ), si  , alors  .

Exemple : l'identité d'un ensemble est toujours un automorphisme, quelle que soit la structure considérée.

RéférencesModifier

  1. a b et c (en) Nicolae Popescu et Liliana Popescu, Theory of Categories, Sijthoff & Noordhoff, (lire en ligne), p. 3.
  2. Pour plus de détails, voir par exemple (en) Maurice Auslander (de) et David Buchsbaum (de), Groups, Rings, Modules, Dover, (1re éd. 1974) (lire en ligne), p. 85-86.
  3. N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Théorie des ensembles [détail des éditions], p. IV.11 et 12 (exemple 1).

Voir aussiModifier