Adjonction ⊗-Hom
En mathématiques, l'adjonction ⊗-hom est le résultat affirmant que le produit tensoriel et le foncteur Hom forment une adjonction :
L'ordre des termes dans l'expression « adjonction tenseur-hom » reflète leur relation : ⊗ est l'adjoint de gauche, tandis que Hom est l'adjoint de droite.
Définition générale
modifierSupposons que R et S soient des anneaux (éventuellement non commutatifs) et considérons les catégories des modules à droite sur R et S (une proposition similaire est valable pour les modules à gauche) :
Soit un -bimodule et soient et les foncteurs définis comme suit:
Alors est adjoint à gauche de . Cela signifie qu'il existe un isomorphisme naturel
Il s'agit en fait d'un isomorphisme de groupes abéliens. Plus précisément, si est un -bimodule et est un -bimodule, alors c'est un isomorphisme de -bimodules. C'est un des exemples motivant la structure de bicatégorie fermée[1].
Counité et unité
modifierComme toutes les adjonctions, l'adjonction tenseur-hom peut être décrite par les transformations naturelles de counité et d'unité. En utilisant la notation de la section précédente, la counité
a pour morphisme la décrivant
donné par évaluation : Pour
Les morphismes décrivant l'unité
sont définis comme suit : Pour appartenant à ,
est un homomorphisme de -modules défini par
Les équations de counité et d’unité peuvent désormais être explicitement vérifiées. Pour dans ,
De même,
Pour dans ,
et donc
Les foncteurs Ext et Tor
modifierLe foncteur Hom commute avec des limites arbitraires, tandis que le produit tensoriel le foncteur commute avec des colimites arbitraires qui existent leurs catégorie de définition. Cependant, de manière générale, ne commute pas avec les colimites, et ne commute pas avec les limites ; cet échec se produit même avec des limites ou des colimites finies. Cette incapacité à préserver les suites exactes courtes motive la définition du foncteur Ext et du foncteur Tor.
Notes et références
modifier- J.P. May et J. Sigurdsson, Parametrized Homotopy Theory, A.M.S., (ISBN 0-8218-3922-5), p. 253
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tensor-hom adjunction » (voir la liste des auteurs).
Voir aussi
modifierBibliographie
modifier- Nicolas Bourbaki, Éléments de mathématiques, Algèbre I, Springer-Verlag
Articles connexes
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