Catégorie des groupes abéliens

En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens.

DéfinitionModifier

Catégorie des groupes abéliensModifier

La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi :

C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes.

La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur   :

 .

Catégories enrichies sur AbModifier

La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie. Les catégories enrichies sur Ab sont dites préadditives (en).

AdjonctionsModifier

On a un foncteur d'oubli naturel U sur Ab qui consiste à « oublier » la structure de groupe  . Ce foncteur admet un adjoint à gauche représenté par le foncteur libre   qui associe à un ensemble le groupe abélien librement engendré par cet ensemble. La catégorie Ab est donc concrète.

Propriétés de la catégorie des groupes abéliensModifier

Propriétés catégoriquesModifier

ObjetsModifier

MorphismesModifier

LimitesModifier

Note et référenceModifier

NoteModifier

  1. C'est le critère de Baer sur les modules injectifs.

RéférenceModifier

(en) Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician [détail de l’édition]