Catégorie des modules

En mathématiques, la catégorie des modules sur un monoïde R est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées dans l'étude des modules sur un anneau, en les généralisant. L'étude de catégories de modules apparaît naturellement en théorie des représentations et en géométrie algébrique.

Puisqu'un R-module est un espace vectoriel lorsque R est un corps commutatif, on peut dans un tel cas identifier la catégorie des modules sur R à la catégorie des espaces vectoriels (en) sur le corps R. D'autre part, tout groupe abélien a une structure naturelle de -module, ce qui permet d'identifier la catégorie des modules sur à la catégorie des groupes abéliens.

DéfinitionModifier

Soit C une catégorie monoïdale et R un monoïde de C. La catégories des modules sur R, notée R-Mod, est la catégorie définie ainsi :

On peut munir les hom-set de R-Mod d'une structure de groupe abélien. En effet, si M, N sont deux objets, et si  , on peut définir

 

et la composition de morphismes est donnée par le produit tensoriel issu de la catégorie Ab des groupes abéliens :

 

ce qui en fait une catégorie Ab-enrichie (donc préadditive). En étendant cette structure à celle d'un R-module, le produit tensoriel de modules permet de doter R-Mod d'une structure de catégorie monoïdale, avec R pour unité. Elle possède en outre un foncteur Hom interne donné par ce produit tensoriel, qui en fait une catégorie monoïdale fermée.

Propriétés de la catégorie des modulesModifier

Propriétés catégoriquesModifier

ObjetsModifier

MorphismesModifier

  • Les monomorphismes sont les morphismes injectifs. De plus, tout monomorphisme est le noyau de son conoyau ;
  • Les épimorphismes sont les morphismes surjectifs. De plus, tout épimorphisme est le conoyau de son noyau ;

LimitesModifier

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

NotesModifier

  1. Par convention, on considère en général les R-modules à gauche.
  2. Ces objets sont uniques à isomorphismes près.

RéférencesModifier