Catégorie complète

En mathématiques, une catégorie complète est une catégorie dans laquelle toutes les petites limites existent. Autrement dit, une catégorie C est complète si tout diagramme F : JC (où J est petite) a une limite dans C. Duallement, une catégorie cocomplète est une catégorie dans laquelle toutes les petites colimites existent. Une catégorie bicomplète est une catégorie à la fois complète et cocomplète.

L'existence de toutes les limites (même lorsque J est une classe propre) est trop forte pour être pertinente en pratique. Toute catégorie possédant cette propriété est nécessairement une catégorie mince : pour deux objets quelconques, il peut y avoir au plus un morphisme d'un objet à l'autre.

Une forme plus faible de complétude est celle de complétude finie. Une catégorie est finiment complète si toutes les limites finies existent (c'est-à-dire les limites des diagrammes indexés par une catégorie J ayant un ensemble fini d'objets). Duallement, une catégorie est finiment cocomplète si toutes les colimites finies existent.

ThéorèmesModifier

Il découle du théorème d'existence des limites qu'une catégorie est complète si et seulement si elle a des égaliseurs (de toutes les paires de morphismes) et tous les (petits) produits. Puisque les égaliseurs peuvent être construits à partir de produits fibrés et de produits binaires (considérer le produit fibré de (f, g) le long de la diagonale Δ), une catégorie est complète si et seulement si elle a des produits fibrés et des produits.

Duallement, une catégorie est cocomplète si et seulement si elle a des coégaliseurs et tous les (petits) coproduits, ou, de manière équivalente, des sommes amalgamées et des coproduits.

La complétude finie peut être caractérisée de plusieurs façons. Pour une catégorie C, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • C est finiment complète,
  • C a les égaliseurs et tous les produits finis,
  • C a les égaliseurs, les produits binaires et un objet final,
  • C a des produits fibrés et un objet final.

Les assertions duales sont également équivalentes.

Une petite catégorie C est complète si et seulement si elle est cocomplète. [1] Une petite catégorie complète est forcément mince.

Une catégorie mince a tous les égaliseurs et coégaliseurs. Elle est donc (finiment) complète si et seulement si elle a tous les produits (finis), et duallement pour la cocomplétude. Sans la restriction de finitude, une catégorie mince avec tous les produits est automatiquement cocomplète, et duallement, par un théorème sur les treillis complets.

Exemples et contre-exemplesModifier

RéférencesModifier

  1. Abstract and Concrete Categories, Jiří Adámek, Horst Herrlich, and George E. Strecker, theorem 12.7, page 213
  2. Emily Riehl, Categorical Homotopy Theory., New York, Cambridge University Press, , 32 p. (ISBN 9781139960083, OCLC 881162803)

Lectures complémentairesModifier