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Transformation de Fourier

Portrait de Joseph Fourier.

En analyse, la transformation de Fourier est une extension, pour les fonctions non périodiques, du développement en série de Fourier des fonctions périodiques. La transformation de Fourier associe à une fonction intégrable définie sur et à valeurs réelles ou complexes, une autre fonction sur appelée transformée de Fourier dont la variable indépendante peut s'interpréter en physique comme la fréquence ou la pulsation.

La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La théorie de la mesure ainsi que la théorie des distributions permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle fondamental dans l'analyse harmonique.

Lorsqu'une fonction représente un phénomène physique, comme l'état du champ électromagnétique ou du champ acoustique en un point, on l'appelle signal et sa transformée de Fourier s'appelle son spectre.

Sommaire

Transformation de Fourier pour les fonctions intégrablesModifier

DéfinitionModifier

La transformation de Fourier   est une opération qui transforme une fonction intégrable sur   en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si   est une fonction intégrable sur  , sa transformée de Fourier est la fonction   donnée par la formule :

 .

Conventions alternativesModifier

Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiques utilisent ainsi :

 

avec t en secondes et   la fréquence (en hertz).

Certains électroniciens ou physiciens utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante :

 

avec t en secondes et   la pulsation (en radians par seconde).

Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur  , on a  , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.

L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables   d'une variable réelle  . L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle  . Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et   ou   à la place de   qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que   est dans le domaine temporel, et que   est dans le domaine fréquentiel.

En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur   et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.

La notation   peut aussi être remplacée par F(ƒ) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.

Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter   pour la fonction de départ et   pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.

Extension de la transformation de FourierModifier

Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.

On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif  . Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif  , c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.

Propriétés de la transformation de FourierModifier

Fonction Transformée de Fourier
Linéarité    
Contraction du domaine    
Translation temporelle    
Modulation dans le domaine temporel    
Produit de convolution    
Produit    
Dérivation dans le domaine temporel  

(voir conditions ci-dessous)

 
Dérivation dans le domaine fréquentiel    
Symétrie réelle et paire réelle et paire
réelle paire (à symétrie hermitienne)
réelle et impaire imaginaire pure et impaire
imaginaire pure et paire imaginaire pure et paire
imaginaire pure et impaire réelle et impaire
Forme gaussienne gaussienne
  • La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a > 1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
  • Si la fonction   est à support borné (c.-à-d. si  ) alors   est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction   est borné alors   est à support non borné.
  • Si f est une fonction non nulle sur un intervalle borné alors   est une fonction non nulle sur   et inversement, si   est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur  .
  • La transformée de Fourier de f est une fonction continue, de limite nulle à l'infini (théorème de Riemann-Lebesgue), notamment bornée par
 .
  • Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
  • Supposons que la fonction   soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée   est la transformée de Fourier de g.
  • Si f est localement absolument continue (c.-à-d. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée ») et si f et f' sont intégrables, alors[1] la transformée de Fourier de la dérivée de f est  .

On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération

 

et M la multiplication par l'argument :

 .

Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables,   et  .

On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquels opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.

Transformation de Fourier inverseModifier

Si la transformée de Fourier de  , notée  , est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée  , et appliquée à  , permet (sous conditions appropriées) de retrouver   à partir des données fréquentielles :

 .

Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le –i devenu i.

Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :

Définition en fréquence :  .
Définition en pulsation :  .

Extension à l'espace ℝnModifier

Notons x∙ξ le produit scalaire canonique dans ℝn :

 .

Si f est une fonction intégrable sur ℝn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :

 .

Si A est une isométrie linéaire directe,  . Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.

Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :

 .

Par conséquent, la transformation de Fourier de L1 dans C0 est injective (mais pas surjective).

Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommableModifier

Extension de la transformation de L1∩L2 à L2Modifier

Le théorème de Plancherel permet de donner un sens à la transformée de Fourier des fonctions de carré sommable sur  .

On commence par un premier résultat préparatoire.

Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur  , qui vérifie l'estimation

  (où C est une constante),

et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier   est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité :

 .

Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout  .

On a ainsi le théorème de Plancherel :

Théorème de Plancherel —  Soit f une fonction complexe sur   et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit: pour tout p entier, on pose

 

La suite des transformées de Fourier   converge dans  , et sa limite est la transformée de Fourier  , c'est-à-dire

 .

De plus, on a l'identité :

 .

De façon similaire, si l'on pose  , les   convergent en moyenne quadratique vers  

Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme intemporel de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation

 .

En physique, on interprète le terme   figurant sous l'intégrale comme une densité spectrale de puissance.

La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection   des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.

La transformation vue comme opérateur de L2(R)Modifier

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier, pour des raisons d'isométrie.

Nous venons de voir que la transformation de Fourier   induit sur l'espace de Hilbert   un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :

  •   est un opérateur unitaire de L2. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions  , et en particulier le deuxième fait, connu sous le nom de théorème de Plancherel  ;
  • son inverse (qui est aussi son adjoint) est donné par   ;
  • en tant qu'automorphisme,   est de période 4. Autrement dit   = id ;
  • en tant qu'endomorphisme de  ,   a pour valeurs propres les quatre racines quatrièmes de l'unité : 1, i, –1 et –i. Une base hilbertienne de vecteurs propres est donnée par les fonctions d'Hermite-Gauss ,  sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent .Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation .On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz  .

Lien avec le produit de convolutionModifier

La transformation de Fourier a des propriétés très intéressantes liées au produit de convolution. On rappelle que (d'après l'inégalité de Young pour la convolution) :

  • si  , alors   et   ;
  • si   et  , alors   et   ;
  • si  , alors   et  .

Ainsi :

  • si  , alors   ;
  • par densité, cette égalité tient encore si   et   ;
  • Si  , alors   ; de plus, l'égalité   est vraie si  .

Principe d'incertitudeModifier

Remarque : ce paragraphe utilise la définition fréquentielle de la transformée de Fourier.

Article détaillé : Principe d'incertitude.

On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de f(x) est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.

Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.

Supposons f intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera f normalisée :

 .

Par le théorème de Plancherel, on sait que   est également normalisée.

On peut mesurer la répartition autour d'un point (x = 0 sans perte de généralité) par :

 .

De même pour la fréquence autour du point   :

 .

En probabilités, il s'agit des moments d'ordre 2 de   et de  .

Le principe d'incertitude dit que si f(x) est absolument continue et que les fonctions x·f(x) et f′(x) sont de carrés intégrables, on a alors[2] :

 .

Cette inégalité est aussi connue sous le nom d'inégalité de Heisenberg-Gabor ou simplement inégalité de Heisenberg par son utilisation répandue en mécanique quantique.

L'égalité n'est atteinte que pour   (alors  ) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ–2.

Transformation de Fourier sur l'espace de SchwartzModifier

L'espace de Schwartz   est l'espace des fonctions   de classe C sur  , telles que   et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de L1, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie. Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infinie qu'opère la transformée de Fourier.

  • Toute fonction de Schwartz est de classe C avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
  • Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C.

Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans L1 et dans L2, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.

Formule d'inversion de Fourier sur   — 

La transformée de Fourier induit un automorphisme bicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par
 .

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise  .

Transformation de Fourier pour les distributions tempéréesModifier

On définit la transformée de Fourier d'une distribution tempérée   comme la distribution définie via son crochet de dualité par

 .

De même que sur  , l'opérateur   ainsi défini sur   est un automorphisme bicontinu.

Les détails et des exemples ne sont pas donnés ici, mais figurent dans l'article relatif aux distributions tempérées.

Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction   ressemble au produit scalaire dans   entre   et la conjuguée de  . Sauf que   n'a pas de sens car   n'est pas dans L2. C'est le crochet de dualité des distributions  , qui pour les fonctions coïncident avec le produit scalaire de L2, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.

Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées   englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de   sommables ou de carré sommable, fonctions de   périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur   unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions. Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur   généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.

CompatibilitésModifier

Compatibilité avec les espaces de fonctionsModifier

Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas L1, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas L2.

Compatibilité avec L1 et L2 — Soit

  •   et   sa transformée de Fourier,

ou bien

  •   et   sa transformée de Fourier.
Dans ces deux cas,   définit une distribution tempérée égale à la transformée de Fourier de  , c'est-à-dire
 .

Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.

Compatibilité avec L1per — La transformée de Fourier d'une distribution régulière   définie par une fonction T-périodique  , est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :

 .

Le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle mais s'étendrait facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de  . Comme la transformation de Fourier[Laquelle ?] est bijective, la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques[Lequel ?].

Compatibilité avec les espaces de suitesModifier

Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur   à support dans  . À une suite donnée   correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac  . Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.

Compatibilité de   avec   — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée  . Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.

 .

Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformation de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier discrète de suites non nécessairement sommables : les suites à croissance polynomiale.

En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points   s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.

Compatibilité de   avec la TFD — La TFD d'une suite   à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans   obtenue par périodisation de   à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac   :

  avec  .

Signaux discrets et signaux périodiquesModifier

Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.

  • Le spectre d'un signal discret   obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :
 .

Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à  , et la formulation de convolution est encore vérifiée :  .

  • Le spectre d'un signal T-périodique  , c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.
  avec  .

Liens avec d'autres transformationsModifier

Lien avec les transformations de LaplaceModifier

La transformée de Fourier d'une fonction   est un cas particulier de la transformée bilatérale de Laplace de cette même fonction définie par :   avec  .

On constate alors que  .

On peut également écrire ce lien en utilisant la transformée de Laplace « usuelle » par :

 

où les fonctions   et   sont définies par :

  si t ≥ 0 et 0 sinon.
  si t ≥ 0 et 0 sinon.

Lien avec les séries de FourierModifier

Parallèle formelModifier

La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors

 .

On trouvera quelques remarques à ce sujet dans Analyse spectrale.

Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de n oscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard[3] ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.

TransforméeModifier

On utilise les variables normalisées suivantes :  ,  .

Transformation de Fourier (analyse) Transformation inverse (synthèse)
   
   
   
   

GénéralisationModifier

La transformée de Fourier se généralise pratiquement telle quelle aux groupes abéliens localement compacts, grâce à la dualité de Pontryagin.

En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si f est une fonction de   dans  , sa transformée de Fourier est définie par :

 .

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fourier transform » (voir la liste des auteurs).

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions], p. 174 de l'édition de 1975-77.
  2. (en) Mark Pinsky (de), Introduction to Fourier Analysis and Wavelets, Brooks/Cole, (ISBN 978-0-82187198-0, lire en ligne), p. 131.
  3. Ou plus précisément à l’ombre de cette somme[réf. nécessaire].

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier