Espace de Schwartz

En mathématiques, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.

DéfinitionModifier

Une fonction f fait partie de l'espace   lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à   sont dites déclinantes.

Pour deux multi-indices  , on définit les normes   par

 

  est la dérivée d'ordre   de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme

 .

S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre  .

PropriétésModifier

TopologieModifier

L'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes  , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes   définie par :

 

L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.

La convergence d'une suite de   se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions   converge dans   vers une fonction   si   et si

 

Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées  .

ExemplesModifier

  • L'espace   contient l'espace   des fonctions C à support compact. Cet espace, aussi noté  , est dense dans   au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
  • Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
  pour tout multi-indice α et tout réel  .
  • L'espace   est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L.

Opérations sur l'espace de SchwartzModifier

  • L'espace   est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
  • L'espace   est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de   En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction   de  , l'opérateur défini par   est continu de   dans lui-même.
Multiplicateurs de   :

On définit l'espace   des multiplicateurs de   comme le sous-ensemble des fonctions de   dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.

 

On appelle   l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.

  • La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de  . Cet automorphisme   est donné par   L'automorphisme inverse est   donné par Le théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit   de la structure préhilbertienne induite par   la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de   dans lui-même.
  • La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec   : pour toute distribution à support compact   et fonction de Schwartz   on a
 
  • Plus généralement, on note   l'ensemble des convoleurs de   c'est-à-dire l'ensemble des distributions   telles que   envoie continûment   dans   Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de   (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle   l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution,   est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle   et   sont des modules unitaires.

Notes et référencesModifier

NoteModifier

RéférencesModifier