Intégration par changement de variable

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En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé.

Théorème

Énoncé

Soient :

• I un intervalle réel ;
• φ : [a,b] → I une fonction dérivable, de dérivée intégrable ;
• f : I → R une fonction continue.

Alors,

$\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)~\mathrm {d} t=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)~\mathrm {d} x$.

Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que φ soit injective sur $[a,b]$ (voir infra).

Démonstration

Lorsque φ est de classe C¹, cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité.

Remarque

Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de f sur $I=\varphi {\bigl (}[a,b]{\bigr )}$ dans le cas où φ est une fonction monotone.

• Si φ est croissante, alors $\varphi (a)\leq \varphi (b)$ et I est égal à l'intervalle $[\varphi (a),\varphi (b)]$ ; l'intégrale de f sur I est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas, $\varphi '\geq 0$.
• Si φ est décroissante, alors $\varphi (a)\geq \varphi (b)$ et I devient $[\varphi (b),\varphi (a)]$. L'intégrale de f sur I est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme $\varphi '\leq 0$, changer le signe revient dans ce cas à remplacer φ' dans le membre de droite par sa valeur absolue.

On voit ainsi que dans les deux cas on a

$\int _{\varphi {\bigl (}[a,b]{\bigr )}}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{[a,b]}f(\varphi (t))|\varphi '(t)|\,\mathrm {d} t$.

C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir infra).

Exemple

Soit à calculer

$\int _{-{\sqrt {\pi /2}}}^{2{\sqrt {\pi /2}}}2t\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t$.

On choisit le changement de variable $\varphi (t)=t^{2}$, et donc $\mathrm {\varphi } '(t)=2t$ avec $t$ variant de $-{\sqrt {\pi /2}}$ à $2{\sqrt {\pi /2}}$.

$\varphi \left(-{\sqrt {\pi /2}}\right)=\pi /2$, $\varphi \left(2{\sqrt {\pi /2}}\right)=2\pi$, et $\cos$ est bien continue sur $\varphi \left(\left[-{\sqrt {\pi /2}},2{\sqrt {\pi /2}}\right]\right)=[0,2\pi ]$. Par conséquent :

$\int _{-{\sqrt {\pi /2}}}^{2{\sqrt {\pi /2}}}2t\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\int _{-{\sqrt {\pi /2}}}^{2{\sqrt {\pi /2}}}\varphi '(t)\cos(\varphi (t))\,\mathrm {d} t=\int _{\pi /2}^{2\pi }\cos x\,\mathrm {d} x=\left[\sin x\right]_{\pi /2}^{2\pi }=0-1=-1$.

Changements de variables classiques

• $\int _{a}^{b}f(ct)\,\mathrm {d} t={\frac {1}{c}}\int _{ca}^{cb}f(x)\,\mathrm {d} x$.
• Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
• Pour calculer
  $\int f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}\right)\,\mathrm {d} x$,
  où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
  $u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d}}}$ :
  le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer.
• Pour calculer
  $\int f\left(x,{\sqrt {x^{2}+ax+b}}\right)\,\mathrm {d} x$,
  où f est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable $t-x={\sqrt {x^{2}+ax+b}}$, qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en t (le cas ${\sqrt {-x^{2}+ax+b}}$ peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon passer par les fonctions circulaires (en)).

Cas des intégrales impropres

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Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle réel borné à un intervalle non borné (par exemple, l'intégrale $I=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} t}{1+\sin ^{2}t}}$ devient, par le changement de variable $x=\tan t$, $I=\int _{0}^{+\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+2x^{2}}}$). Dans les différents cas possibles, la démonstration de ce résultat se fait simplement en passant par un calcul de limite, et en remarquant que, par exemple, $\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a}^{b-\varepsilon }f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} t$.

Cas des intégrales multiples

Articles détaillés : Changement de variables dans les intégrales multiples et Utilisation du jacobien

Lorsque f est une fonction de plusieurs variables, on remplace φ par une transformation $\Phi$ bijective, de classe C¹ ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de $\Phi$ « à la place » de $|\varphi '|$. Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne $J_{\Phi }$. On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :

$\iint _{\Phi (T)}f(x,y)\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint _{T}f{\bigl (}\Phi (u,v){\bigr )}\left|\det J_{\Phi }(u,v)\right|~\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$.

Voir aussi

Article connexe

Composition de fonctions

Lien externe

Autre exemple d'intégration par changement de variable bien détaillé