Intégration par changement de variable
En mathématiques, et plus précisément en analyse, l’intégration par changement de variable est un procédé d'intégration qui consiste à considérer une nouvelle variable d'intégration, pour remplacer une fonction de la variable d'intégration initiale. Ce procédé est un des outils principaux pour le calcul explicite d'intégrales. Il est parfois appelé intégration par substitution en lien avec le nom anglais du procédé.
ThéorèmeModifier
ÉnoncéModifier
Soient :
- I un intervalle réel ;
- φ : [a,b] → I une fonction dérivable, de dérivée intégrable ;
- f : I → R une fonction continue.
Alors,
Remarquons qu'il n'est pas nécessaire que φ soit injective sur (voir infra).
DémonstrationModifier
Lorsque φ est de classe C1, cette règle d'intégration se déduit du théorème fondamental de l'analyse et du théorème de dérivation des fonctions composées : voir par exemple le lien en bas de cette page vers le cours sur Wikiversité.
RemarqueModifier
Utilisons le théorème pour écrire l'intégrale de f sur dans le cas où φ est une fonction monotone.
- Si φ est croissante, alors et I est égal à l'intervalle ; l'intégrale de f sur I est alors immédiatement donnée par le théorème. Remarquons aussi que dans ce cas, .
- Si φ est décroissante, alors et I devient . L'intégrale de f sur I est donc l'opposée de l'intégrale du membre de gauche du théorème. Comme , changer le signe revient dans ce cas à remplacer φ' dans le membre de droite par sa valeur absolue.
On voit ainsi que dans les deux cas on a
- .
C'est cette formule qu'on peut généraliser au cas des intégrales multiples (voir infra).
ExempleModifier
Soit à calculer
- .
On choisit le changement de variable , et donc avec variant de à .
, , et est bien continue sur . Par conséquent :
- .
Changements de variables classiquesModifier
- .
- Pour les fonctions comportant des fonctions circulaires ou hyperboliques, voir les règles de Bioche.
- Pour calculer
,
où f est une fraction rationnelle en deux variables, n un entier naturel et a, b, c et d quatre réels donnés, on pose
:
le changement de variable donnera toujours une fraction rationnelle en u ; il suffit alors de la décomposer en éléments simples pour intégrer. - Pour calculer
,
où f est une fraction rationnelle en deux variables, Euler a proposé le changement de variable , qui donne lui aussi toujours une fraction rationnelle en t (le cas peut également être ainsi traité, si l'on accepte de travailler dans les complexes, il faut sinon passer par les fonctions circulaires (en)).
Cas des intégrales impropresModifier
Les formules données précédemment sont en fait valables même si les intégrales sont impropres, ce qui se produit en particulier lorsque le changement de variable fait passer d'un intervalle réel borné à un intervalle non borné (par exemple, l'intégrale devient, par le changement de variable , ). Dans les différents cas possibles, la démonstration de ce résultat se fait simplement en passant par un calcul de limite, et en remarquant que, par exemple, .
Cas des intégrales multiplesModifier
Lorsque f est une fonction de plusieurs variables, on remplace φ par une transformation bijective, de classe C1 ainsi que sa fonction réciproque. Outre le changement du domaine d'intégration on utilise la valeur absolue du jacobien de « à la place » de . Le jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne . On donne ici la formulation explicite du changement de variable et le lecteur se reportera à l'article sur les intégrales multiples ou sur la matrice jacobienne pour plus de précisions sur ces notions :
- .