Ouvrir le menu principal

Distribution tempérée

page d'homonymie d'un projet Wikimédia

Une distribution tempérée est une forme linéaire continue sur l'espace de Schwartz . L'espace des distributions tempérées est donc le dual topologique de Par densité de dans , il s'identifie à un sous-espace vectoriel de l'espace de toutes les distributions : le sous-espace (propre) des distributions qui s'étendent continûment à

Par exemple, les fonctions continues bornées, comme la fonction constante 1, définissent des distributions tempérées, ainsi que toutes les distributions à support compact, comme la distribution de Dirac.

Les distributions tempérées ont été introduites par Laurent Schwartz, mais initialement sous l'appellation « distributions sphériques »[1], ce qui explique l'emploi de la lettre S par Schwartz lui-même.

Sommaire

DéfinitionModifier

Une distribution tempérée sur   est une forme linéaire continue sur   La continuité d'une forme linéaire   sur   peut s'exprimer de deux façons équivalentes :

Toute distribution tempérée se restreint donc en une distribution d'ordre fini et par densité de   dans  , une distribution T se prolonge en une (unique) distribution tempérée si et seulement si elle vérifie une telle inégalité pour tout  

Caractérisation des distributions tempérées[2],[3] — Les distributions tempérées de   sont exactement les distributions   de la forme :

 

  est un multi-indice,   est un entier naturel et   est une fonction continue et bornée sur  , et où la dérivation s'entend au sens des distributions.

« Cette caractérisation [est] très utile en pratique, mais […] sa démonstration [est] un peu délicate[4]. »

TopologieModifier

On munit   de la topologie faible-* ;   est alors un espace localement convexe (et son dual topologique s'identifie à  ). Plus explicitement, la collection de tous les ensembles de la forme

  (où   et  )

est une base de voisinages de 0.

La convergence dans   est donc, comme dans  , la convergence simple : dire que la suite   de   tend vers T signifie que pour toute fonction  , on a  

Exemples de distributions tempéréesModifier

Distributions à support compactModifier

Toute distribution à support compact est tempérée et   s'injecte continûment dans  

Mesures tempéréesModifier

Toute mesure bornée et plus généralement, toute mesure de Borel μ (signée, voire complexe (en)) sur ℝN, représente une distribution Tμ, définie via l'injection linéaire T :

  pour toute fonction  

Pour que cette distribution soit tempérée, il suffit que la mesure μ le soit, c'est-à-dire vérifie les conditions équivalentes suivantes, où la mesure positive |μ| est la variation de μ :

  • il existe un entier naturel p tel que la mesure à densité (1 + ║x2)p|μ| soit finie ;
  • il existe un entier naturel p tel que |μ|(B(0, R)) = O(Rp) (quand le rayon R de la boule B(0, R) tend vers l'infini).

Remarque : cette condition suffisante n'est pas nécessaire. Par exemple sur ℝ, la fonction x ↦ sin(ex) est la densité, par rapport à la mesure de Lebesgue λ, d'une mesure tempérée, qui définit donc une distribution tempérée, donc sa dérivée x ↦ excos(ex) définit aussi une distribution tempérée, bien qu'elle soit à croissance exponentielle.

Distributions tempérées régulièresModifier

Pour toute fonction localement intégrable f, les considérations précédentes s'appliquent à la mesure à densité μ = f λ.

La distribution Tf λ, dite régulière, est donc tempérée par exemple si :

  • f est (localement intégrable et) à croissance polynomiale (i.e. en O(║xc) pour un certain réel c, au voisinage de l'infini) ;
  • f appartient à un espace de Lebesgue Lp(ℝN), avec 1 ≤ p ≤ ∞.

Plus précisément, Lp(ℝN) s'injecte continûment dans  

Distributions tempérées à support dans ℤNModifier

Les considérations précédentes s'appliquent également à toute mesure μ à support dans ℤN, canoniquement associée à une suite multi-indexée a = (ak)k∈ℤN de complexes par la relation ak = μ({k}). La distribution Tμ associée, qui s'écrit alors   est donc tempérée dès que la suite a est à croissance polynomiale.

Distributions périodiquesModifier

Une distribution   sur   est dite périodique de période   si    désigne la translation de  

Sur ℝN, toute distribution périodique est tempérée.

Les exemples les plus simples sont le peigne de Dirac Ш1 — qui est à la fois périodique et à support dans ℤ — et les distributions régulières périodiques, c'est-à-dire associées à des fonctions localement intégrables périodiques.

Opérations sur les distributions tempéréesModifier

On montre ce qui suit[5] :

  • Si   alors, pour tous multi-indices   le produit   (avec un abus de langage) et la dérivée   appartiennent à  . De plus, la multiplication   et la dérivation   sont des applications linéaires continues de   dans  

Soit une distribution tempérée   de   Alors

  • La multiplication avec   est compatible. Pour toute fonction à dérivées à croissance polynomiale  , la distribution  
  • Le produit de convolution avec   est compatible. Pour toute distribution à support compact  

Transformée de Fourier des distributions tempéréesModifier

DéfinitionModifier

On appelle transformation de Fourier de   dans   la transposée de la transformation de Fourier de   dans  . On la note de nouveau  , autrement dit on pose

 

Note : on retrouve la transformée de Fourier usuelle si T s'identifie à une fonction de L1 ou L2, ou à une fonction localement intégrable périodique (cf. article détaillé).

Inversion de FourierModifier

On définit de même l'opérateur   sur   comme le transposé de celui sur   :

 

On déduit des propriétés des opérateurs sur   les propriétés analogues pour leurs transposés :

Formule d'inversion de Fourier sur   —  La transformée de Fourier est un automorphisme du  -espace vectoriel   des distributions tempérées, dont l'automorphisme réciproque est   où l'opérateur antipodie   est défini pour toute distribution S sur   par

 

Remarque : cette formule dépend de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elle est valide pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise  

Autres propriétésModifier

La transformée de Fourier dans   hérite de ses propriétés dans  

  •   est un automorphisme de période 4 (i.e. 4 est le plus petit entier positif k tel que  ), bicontinu (  est aussi continue).
  • En particulier   hérite de la continuité séquentielle. Pour toute suite   de distributions tempérées, 
  • Dans  , la transformation de Fourier échange l'espace des convoleurs   et l'espace des multiplicateurs   et échange le produit convolutif et le produit multiplicatif. Autrement dit, soit   et   alors on a
     
     

Exemples de transformées de Fourier de distributionsModifier

Les formules dépendent de la convention choisie pour la transformation de Fourier dans l'espace des fonctions. Elles sont valides pour une transformation de Fourier exprimée dans l'espace des fréquences, dont la définition utilise  

Opérations usuellesModifier

Soit T une distribution tempérée sur   Les opérations alors utilisées dans les cas des fonctions sont maintenant valides sans hypothèse supplémentaire.

  • Dérivation : pour tout  ,  
  • Multiplication par un polynôme : pour tout  ,  
  • Translation : pour tout  
  • Modulation : pour tout  

Transformées usuellesModifier

  • Transformées des sinusoïdes  

 

  • Transformées des masses de Dirac. Pour tout   et tout multi-indice  

 

  • Transformées des polynômes : pour tout multi-indice  

 

Distributions périodiquesModifier

La transformée de Fourier d'une distribution U T-périodique sur   est la distribution en somme de Diracs

 

c'est-à-dire un signal, échantillonné à la fréquence  , dont les échantillons   sont données par

 

pour toute fonction test   vérifiant  

Cas des distributions à support compactModifier

Dans cette section, T est supposée à support compact.

Transformée de FourierModifier

On démontre que l'application f définie sur ℝN par

 

est de classe C, avec   donc (en utilisant la continuité de T en termes de semi-normes et la compacité de son support) à croissance polynomiale. Elle définit donc une distribution tempérée régulière Tf, et l'on vérifie que

 

Transformée de Fourier-LaplaceModifier

Donnons maintenant la définition de la transformée de Fourier-Laplace de T, extension à ℂn de sa transformée de Fourier :

 

On montre (théorème de Paley-Wiener) que cette fonction est entière.

Ainsi, la transformée de Fourier d'une distribution à support compact est analytique.

Cette remarque est cohérente avec la propriété d'échange entre décroissance à l'infini et régularité. Comme la compacité du support est la plus grande vitesse de décroissance à l'infini, il est prévisible que cette propriété s'échange avec celle de régularité extrême, c'est-à-dire la propriété d'être une fonction entière.

Notes et référencesModifier

  1. L. Schwartz, « Théorie des distributions et transformation de Fourier », Annales de l'université de Grenoble, vol. 23,‎ 1947-1948, p. 7-24 (lire en ligne).
  2. L. Schwartz, Théorie des distributions, Hermann, (1re éd. 1950-1951), chap. VII, § 4, p. 239-241.
  3. (en) G. Friedlander et M. Joshi, Introduction to the Theory of Distributions, CUP, (lire en ligne), p. 97-98.
  4. Schwartz 1966, p. 223.
  5. Schwartz 1966.