Théorème de Fubini

Théorème de théorie de l'intégration de Lebesgue

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Fubini fournit des informations sur le calcul d'intégrales définies sur des ensembles produits et permet le calcul de telles intégrales. Il indique que sous certaines conditions, pour intégrer une fonction à plusieurs variables, on peut intégrer les variables les unes à la suite des autres.

ÉnoncésModifier

Théorème de Fubini-Tonelli[1] — Soient   et   deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies et soit   l'espace mesurable produit muni de la mesure produit. Si

 
est une application  -mesurable, alors les applications
 

sont respectivement  - et  -mesurables et

 

Théorème de Fubini-Lebesgue[2] — Soient   et   deux espaces mesurés complets (non nécessairement σ-finis) et   l'espace mesurable produit muni d'une mesure produit ζ. Si

 

est ζ-intégrable, alors les fonctions

 

(définies presque partout) sont respectivement μ- et ν-intégrables et

 

Le premier théorème est faux si l'on ne suppose pas les mesures σ-finies.

Dans le cas particulier où l'un des deux espaces est ℕ muni de la tribu discrète et de la mesure de comptage, on retrouve respectivement le théorème de convergence monotone et le corollaire du théorème de convergence dominée pour les séries de fonctions.

Mise en œuvreModifier

Lorsque les deux mesures sont σ-finies, l'utilisation du théorème de Fubini-Tonelli permet souvent de démontrer qu'une fonction mesurable est intégrable. En effet, pour    -mesurable, on peut appliquer le théorème de Fubini-Tonelli à  , ce qui donne

 

donc si l'une des intégrales est finie, alors toutes trois le sont et   est intégrable.

On a alors d'après le théorème de Fubini-Lebesgue

 

ce qui facilite le calcul de l'intégrale.

ApplicationsModifier

  • Le produit de convolution de deux fonctions intégrables est lui-même intégrable.
  • Calcul de l'intégrale de Gauss,  .

Contre-exemplesModifier

Si f n'est pas intégrableModifier

Considérons

 .

On a

 .

En échangeant les rôles de   et  , on a donc

 ,

ce qui — puisque théorème de Fubini ne s'applique pas ici — prouve que

 .

Cas d'une mesure non sigma-finieModifier

Considérons l'ensemble  . Munissons-le d'une part de la tribu borélienne   et de la mesure de Lebesgue   et d'autre part de la tribu discrète   et de la mesure de comptage  .

La diagonale   est un fermé de  , donc

 

La fonction indicatrice 1Δ est donc mesurable sur l'espace produit considéré.

Mais on a d'une part :

 
et d'autre part :
 

Ces deux intégrales sont distinctes, donc :

  • le théorème de Fubini-Tonelli ne s'applique pas ici. Ceci s'explique car la mesure de comptage   sur   n'est pas σ-finie, car toute réunion dénombrable d'ensembles de mesures  -finies, c'est-à-dire d'ensembles finis, est au plus dénombrable donc différente de  .
  • le théorème de Fubini-Lebesgue ne s'applique pas non plus, ce qui prouve que Δ est de mesure infinie pour toute mesure produit de   par  .

Notes et référencesModifier

  1. Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions].
  2. (en) Emmanuele DiBenedetto, Real Analysis, Springer, 2002, p. 147.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

Lien externeModifier

Les mesures produit, chapitre VIII du cours d'intégration 2004-2005-2006 de Pierre Mazet à l'université Pierre-et-Marie-Curie. On y trouve une preuve des deux versions du théorème de Fubini.