Fonction C à support compact

En mathématiques, une fonction C à support compact (également appelée fonction test) est une fonction infiniment dérivable dont le support est compact.

Représentation graphique d'une fonction C à support compact à deux variables.

Ces fonctions sont au cœur de la théorie des distributions, puisque ces dernières sont construites comme éléments du dual topologique de l'espace des fonctions tests.

Les fonctions C à support compact sont également utilisées pour construire des suites régularisantes et des partitions de l'unité de classe C.

Si Ω est un ouvert non vide de ℝn, l'espace des fonctions C à support compact de Ω dans ℝ est noté C
c
(Ω), C
0
(Ω)
ou 𝒟(Ω).

ExemplesModifier

 
Graphe de la fonction Ψ.

La fonction d'une variable   définie par

 

est à support compact. La preuve qu'elle est infiniment dérivable peut se faire par récurrence. Par ailleurs, la fonction peut être vue comme la fonction gaussienne ey2 qu'on a « fait rentrer dans le disque unité » par le changement de variables y2 = 1/(1 – x2) qui envoie x = ±1 sur y = .

Un exemple simple de fonction C à support compact à n variables est obtenu en prenant le produit de n copies de la fonction à une variable ci-dessus :

 

Sur Ω = ℝn, la fonction

 

est C et son support est la boule fermée B(0, 1) pour la norme ║.║ utilisée.

PropriétésModifier

  • Une fonction C à support compact ne peut pas être analytique, à moins d'être identiquement nulle. C'est une conséquence directe du théorème d'identité.
  • L'espace des fonctions C à support compact est stable par de nombreuses opérations. Par exemple, la somme, le produit, le produit de convolution de deux fonctions C à support compact est encore une fonction C à support compact.

TopologieModifier

On munit 𝒟(Ω) de la topologie suivante : les voisinages d'un élément de l'espace sont — comme dans tout groupe topologique — les translatés par cet élément des voisinages de 0, et un ensemble   est un voisinage de la fonction nulle si, pour tout compact K de Ω, il existe un entier m > 0 tel que V contienne l'ensemble suivant :

 

  désigne l'ensemble des fonctions de   dont le support est inclus dans K, et ‖f est la norme de f au sens de la convergence uniforme (pour f continue à support compact, c'est le maximum global de |f|).

Autrement dit, si Ω est la réunion d'une suite croissante de compacts Kn, une base de voisinages de 0 est constituée des  , quand   parcourt l'ensemble (non dénombrable) des suites à valeurs dans ℕ*.

Muni de cette topologie,   est un espace localement convexe, non métrisable[1] puisqu'il est maigre dans lui-même et séquentiellement complet[1] (il est même complet[2]).

Dans   la convergence vers 0 d'une suite de fonctions φn se traduit par l'existence d'un compact K de Ω, contenant les supports de toutes les φn à partir d'un certain rang, et tel que φn ainsi que toutes ses dérivées tendent vers 0 uniformément sur K.

RéférencesModifier

  1. a et b (en) Philippe Blanchard et Erwin Brüning, Mathematical Methods in Physics : Distributions, Hilbert Space Operators, and Variational Methods, Springer, , 471 p. (ISBN 978-0-8176-4228-0, lire en ligne), p. 20.
  2. Comme limite inductive stricte des   : N. Bourbaki, Éléments de mathématique : Espaces vectoriels topologiques, Springer, , 368 p. (ISBN 3-540-34497-7, lire en ligne), III.9-III.10.

Voir aussiModifier

Article connexeModifier

Fonction régulière non analytique

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