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Partie dense

notion de topologie formalisant le fait, pour un sous-espace, que n'importe quel point de l'espace entier peut être approché par des points de ce sous-espace
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Densité (homonymie).
En mathématiques, ne pas confondre avec une partie dense au sens de l'ordre.

En topologie, une partie dense d'un espace topologique est un sous-ensemble permettant d'approcher tous les éléments de l'espace englobant. La notion s'oppose ainsi à celle de partie nulle part dense.

La densité d'une partie permet parfois d'étendre la démonstration d'une propriété ou la définition d'une application par continuité.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Soient X un espace topologique et A une partie de X. On dit[1] que A est « dense dans X », ou encore « partout dense »[2] si l'une des propriétés équivalentes est satisfaite :

Un point x de X est dit dense dans X si le singleton   est dense dans X.

Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense au plus dénombrable.

ExemplesModifier

PropriétésModifier

Une condition suffisante pour cela est que tout élément de X soit limite d'une suite d'éléments de A. Cette condition est également nécessaire si X est un espace de Fréchet-Urysohn, par exemple un espace métrisable ou même seulement à bases dénombrables de voisinages.

Si B est une autre partie de X, ne contenant pas nécessairement A, on dit que A est dense dans B si son adhérence contient B[réf. souhaitée].

Si X est un espace métrique complet, une partie Y de X est dense dans X si et seulement si X est le complété de Y.

Deux applications continues définies sur une partie dense d'un espace séparé sont égales.

Une suite de fonctions définies sur un espace métrique X et continues converge uniformément si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur une partie dense de X.

Un anneau commutatif est de Jacobson si et seulement si dans toute partie fermée non-vide de son spectre, l'ensemble des points fermés est dense.

Notes et référencesModifier

  1. (de) Paul du Bois-Reymond, « Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […] », Math. Ann., vol. 16,‎ (lire en ligne) dit : « pantachique » : Alain Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, Vrin, (lire en ligne), p. 37.
  2. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], p. I.9, aperçu sur Google Livres.
  3. Attention, « dense dans lui-même » n'est pas synonyme de « dense-dans-lui-même (en) », comme le signale avec humour (en) J. E. Littlewood, A Mathematician's Miscellany, (lire en ligne), p. 39.

Articles connexesModifier