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En mathématiques, une fonction définie sur un espace mesuré Ω et à valeurs dans ou est dite de carré sommable ou de carré intégrable si elle appartient à l’espace L2(Ω) des fonctions dont l'intégrale du carré (du module dans le cas des nombres complexes) converge sur Ω.

Par exemple, une fonction mesurable de ℝ dans ℂ est de carré sommable lorsque l’intégrale suivante (au sens de Lebesgue)

converge, c'est-à-dire si elle existe et correspond ainsi à un nombre fini.

Définition formelleModifier

Article détaillé : Espace Lp.

Considérons les fonctions mesurables définies sur l’ensemble ℝ et à valeurs dans ℂ dont l’intégrale (au sens de Lebesgue) du carré du module converge[1]. Ces fonctions constituent un espace vectoriel2(ℝ) qui, grâce à l'inégalité de Hölder, peut être muni de la forme hermitienne positive définie par

 

et de la semi-norme correspondante

 

Puisqu’une fonction   de ℒ2(ℝ) peut rester indéfinie sur un ensemble de mesure nulle sans affecter les intégrales précédentes, la relation d'équivalence « est égale presque partout » permet de constituer des classes de fonctions (notées provisoirement  ) : deux fonctions sont alors dans la même classe si elles sont « égales presque partout », c’est-à-dire égales en dehors d’un ensemble de mesure nulle. L’ensemble de ces classes constitue l’espace vectoriel L2(ℝ).

Puisque le noyau de la semi-norme est l’ensemble des fonctions négligeables (c'est-à-dire nulles presque partout) de ℒ2(ℝ), l’espace L2(ℝ) acquiert une structure d’espace de Hilbert à l’aide du produit scalaire

 

et de la norme correspondante

 

Ces intégrales ne dépendent pas des représentants   ou   de ℒ2(ℝ) choisis pour caractériser les classes   ou   de L2(ℝ).

Simplification en passant aux fonctions définies presque partoutModifier

Il est commode et fréquent d’identifier une fonction   de ℒ2(ℝ) à sa classe   dans L2(ℝ). Ainsi :

  • L’espace L2(ℝ) des fonctions de carré sommable est l’ensemble des (classes d'égalité presque partout de) fonctions mesurables définies presque partout sur ℝ et à valeurs dans ℝ ou ℂ, telles que le carré de leur module soit Lebesgue-intégrable sur ℝ.
  • L2(ℝ) est un espace de Hilbert lorsqu’il est muni du produit scalaire
 

Quelques propriétésModifier

En tant qu’espace de Hilbert, L2(ℝ) est un espace complet :

Si une suite   dans L2(ℝ) est de Cauchy, alors il existe une limite   dans L2(ℝ) (c'est-à-dire une fonction définie presque partout sur ℝ et de carré sommable) telle que
 

C’est la notion de convergence en moyenne quadratique. Elle n’implique pas nécessairement la convergence ponctuelle presque partout.

Cependant, de toute suite convergente de L2(ℝ), on peut extraire une sous-suite qui converge ponctuellement presque partout. En d’autres termes, si   converge vers   en moyenne quadratique, on peut trouver une partie infinie   de ℕ et un ensemble   de mesure nulle tels que

 

Le théorème de convergence dominée fournit une condition suffisante de convergence en moyenne quadratique :

Soit   une suite dans L2(ℝ) qui converge presque partout vers une limite  . S’il existe une fonction   dans L2(ℝ) et un ensemble   de mesure nulle tels que
 
alors   converge en moyenne quadratique vers  .

Les fonctions de carré sommable en physiqueModifier

En physique quantique, une fonction d'onde   associée à une particule est de carré sommable relativement à la variable spatiale. Physiquement, en effet, le carré du module de la fonction d'onde   est une densité de probabilité de présence de la particule au point   et à l'instant  . Par conséquent, l'intégrale de ce carré vaut 1, puisque la particule se trouve quelque part dans l'espace. En termes plus mathématiques, une fonction d'onde est de norme 1 dans l'espace des fonctions de carré sommable.

NoteModifier

  1. ℝ est ici muni à la fois de la tribu de Lebesgue et de la mesure de Lebesgue.

Voir aussiModifier