Intégrabilité

En mathématiques, l'intégrabilité d'une fonction numérique est sa capacité à pouvoir être intégrée, c'est-à-dire à avoir une intégrale définie (qui a un sens) et finie (qui ne vaut pas l'infini).

La notion d'intégrabilité dépend de la notion d'intégrale que l'on considère. Il existe plusieurs types d'intégrales, les plus connues et utilisées étant l'intégrale de Riemann et l'intégrale de Lebesgue.

Intégrabilité au sens de RiemannModifier

Fonctions en escalierModifier

Soit   un intervalle fermé inclus dans   et  . On dit que   est une fonction en escalier si il existe une subdivision   et des nombres réels   tels que[1]

 .

Si   est une fonction en escalier sur   alors son intégrale (au sens de Riemann) est définie comme

 .

Intégrabilité sur un intervalle ferméModifier

Soit   un intervalle fermé inclus dans   et  . On suppose que   est bornée[2], c'est-à-dire qu'il existe un réel   tel que   pour tout  . Notons

  et

 .

On dit alors que   est intégrable (au sens de Riemann) si   et dans ce cas son intégrale (au sens de Riemann) est définie comme

 .

Intégrabilité sur un intervalle quelconqueModifier

Soit   un intervalle d'intérieur non vide inclus dans   et  . On suppose que   est localement intégrable[3] (au sens de Riemann) sur  , c'est-à-dire que la restriction de   sur tout intervalle fermé inclus dans   est intégrable (au sens de Riemann). Notons   l'extrémité gauche de   et   son extrémité droite[4]. On dit alors que   est intégrable sur   (au sens des intégrales impropres de Riemann) si pour tout   dans l'intérieur de   on a que les deux limites suivantes convergent :

  et  .

Dans ce cas l'intégrale (au sens des intégrales impropres de Riemann) de   est définie comme la somme des deux limites précédentes[5].

Critères d'intégrabilitéModifier

  1. Pour tout   continue, la composée   est intégrable sur  .
  2. Le produit   est intégrable sur  .
  3. Le minimum   est intégrable sur  .
  4. Le maximum   est intégrable sur  .
  5. La valeur absolue   est intégrable sur  .
  • Si la valeur absolue d'une fonction est intégrable sur un intervalle quelconque alors la fonction elle-même aussi. La réciproque est vraie pour un intervalle fermé mais est fausse pour un intervalle non fermé. Si une fonction est intégrable mais que sa valeur absolue ne l'est pas alors on dit que son intégrale est semi-convergente.
  • Si   sont positives, localement intégrables et que de plus   quand  [8] alors l'intégrabilité de   sur   entraîne celle de  [9]. On remarquera que   est vérifié si par exemple   ou   quand  .
  • Soit   un intervalle d'intérieur non vide dont les extrémités gauches et droites sont notées   et  . Supposons que   et   sont finis. Si   est localement intégrable et a des limites finies en   et   alors   est intégrable sur  [10].

Exemples et contre-exemplesModifier

  • La fonction indicatrice des rationnels entre 0 et 1 n'est pas intégrable.
  • Critère de Riemann : la fonction   est intégrable sur   si et seulement si  . Cette même fonction est intégrable sur   si et seulement si  .
  • Critère de Bertrand : la fonction   est intégrable sur   si et seulement si   ou (  et  ). Cette même fonction est intégrable sur   si et seulement si   ou (  et  ).
  • La fonction   est intégrable sur   mais pas sa valeur absolue. Son intégrale, qui s'appelle l'intégrale de Dirichlet, est donc semi-convergente.

Intégrabilité au sens de LebesgueModifier

Soient (X, 𝒜, μ) un espace mesuré et f une fonction sur X, à valeurs dans ou et 𝒜-mesurable. On dit que f est intégrable sur X si

 

NotesModifier

  1. On notera que, dans la définition de fonction en escalier, la valeur de   en les   n'est pas importante. Cependant certains auteurs requièrent que l'égalité soit vraie sur l'intervalle semi-fermé   ou encore  .
  2. Le fait que   soit bornée permet de dire que   et   sont bien définis ; en effet les ensembles dont ils sont une borne inférieure et supérieure ne sont pas vides : il existe toujours des fonctions en escalier qui majorent ou minorent  .
  3. L'hypothèse d'intégrabilité locale permet de s'assurer que les intégrales   et   sont bien définies pour tout  .
  4. Les nombres   et   peuvent être infinis.
  5. La définition de l'intégrale ne dépend pas de  . De plus il suffit de montrer qu'il existe un   tel que les deux limites mentionnées convergent pour que   soit intégrable (il n'est donc pas nécessaire de montrer que cela est vrai pour tout  ).
  6. Cela n'est pas forcément vrai sur un intervalle quelconque, par exemple la fonction identité est continue, donc réglée, mais non intégrable sur  .
  7. Ces 5 propriétés deviennent fausses lorsque l'intervalle n'est pas fermé. Voici des contre-exemples : 1) La fonction   est intégrable sur   mais si l'on prend   alors   ne l'est pas. 2) La fonction   est intégrable sur   mais le produit   ne l'est pas. 3) La fonction   est intégrable sur   mais   ne l'est pas. 4) De même   n'est pas intégrable sur  . 5) Le contre-exemple 3 marche aussi dans ce cas.
  8. Ici   désigne le "grand o" de la notation de Landau.
  9. Cette propriété devient fausse si l'on omet la condition de positivité. Par exemple si   a une intégrale semi-convergente alors on a bien que   quand   mais   n'est pas intégrable.
  10. Si les extrémités ne sont pas finies, cette propriété devient fausse. Par exemple la fonction   admet 0 comme limite en   mais n'est pas intégrable sur  .