Ouvrir le menu principal

Wikipédia β

Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir gamma (homonymie).
Tracé de la fonction gamma le long de l'axe des réels.

En mathématiques, la fonction gamma est une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté pour les entiers négatifs).

Sommaire

DéfinitionModifier

 
Tracé du module de la fonction gamma sur le plan complexe.

Pour tout nombre complexe z tel que Re(z) > 0, on définit la fonction suivante, appelée fonction gamma, et notée par la lettre grecque Γ (gamma majuscule)

 

Cette intégrale impropre converge absolument sur le demi-plan complexe où la partie réelle est strictement positive[1], et une intégration par parties[1] montre que

 .

Cette fonction peut être prolongée analytiquement en une fonction méromorphe sur l'ensemble des nombres complexes, excepté pour z = 0,  −1, −2, −3… qui sont des pôles. C'est ce prolongement qu'on appelle généralement « fonction gamma ». Utilisant l'unicité du prolongement analytique, on montre que la fonction prolongée vérifie encore l'équation fonctionnelle précédente, ce qui permet une définition plus simple, à partir de l'intégrale et en calculant de proche en proche Γ pour  ,  etc.

Autres définitionsModifier

Les définitions suivantes de la fonction gamma par produits infinis, dues respectivement à Euler et Schlömilch[2], ont un sens pour les nombres complexes z qui ne sont pas des entiers négatifs ou nuls :

 

(pour le cas particulier où   est un réel strictement positif, voir l'article Théorème de Bohr-Mollerup) ;

 

  est la constante d'Euler-Mascheroni.

PropriétésModifier

Lien avec la factorielleModifier

De   et Γ(1) = 1, on déduit :

 .

La fonction gamma est donc généralement perçue comme un prolongement de la factorielle à l'ensemble des nombres complexes (excepté les entiers négatifs ou nuls).

Une notation alternative est la fonction Π, introduite par Gauss :

  (et donc  ),

de telle façon que :

 .

CaractérisationsModifier

Sur l'ensemble des réelsModifier

La fonction gamma est entièrement caractérisée sur   par les trois propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup):

  •  
  • Pour tout  , on a :  
  • la fonction composée   est convexe sur  

Sur le demi-plan complexe Re(z)>0Modifier

La fonction gamma est entièrement caractérisée parmi les fonctions holomorphes du demi-plan complexe Re(z)>0 par les trois propriétés suivantes (théorème de Wielandt) :

  •  
  • Pour tout z tel que Re(z)>0,  
  •   est bornée dans la bande 1 ≤ Re(z) ≤ 2.

Autres propriétésModifier

Formule des complémentsModifier

La fonction gamma vérifie la formule de réflexion d'Euler, ou formule des compléments

 

que l'on démontre en remarquant d'abord que Γ(1 – z)Γ(z) est 2-périodique et a les mêmes pôles et résidus que  .

Formule de multiplicationModifier

La fonction gamma vérifie également la formule de duplication :  

La formule de duplication est un cas particulier du théorème de multiplication :

 

Cette fonction apparaît également dans des formules incluant la fonction zêta de Riemann.

RésidusModifier

La fonction gamma possède un pôle d'ordre 1 en z = −n pour tout entier naturel n. Le résidu de la fonction en ce pôle est donné par :

 

DérivéesModifier

La fonction gamma est indéfiniment dérivable sur  . Sa dérivée est exprimée à l'aide de la fonction digamma :  

Plus généralement, sa dérivée p-ième possède sur   l'expression intégrale suivante :

 

Lien avec les sommes de GaussModifier

La définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale la fait apparaître comme une convolution entre un caractère additif (l'exponentielle) et un caractère multiplicatif ( ).

Lien avec d'autres fonctionsModifier

Dans la définition de la fonction gamma sous forme d'intégrale, les bornes de l'intégrale sont fixées ; la fonction gamma incomplète est la fonction obtenue en en modifiant la borne inférieure ou la borne supérieure.

La fonction gamma est reliée à la fonction bêta par la formule :

 

Le logarithme de la fonction gamma est parfois appelé lngamma. Il intervient notamment dans la résolution des problèmes de propagation d’ondes[3] : l'équation fonctionnelle de la fonction lngamma est :

 

Si l’on connaît les valeurs de la fonction sur une bande de largeur 1 en Re(z), on obtient par cette relation les valeurs dans une bande voisine de même largeur, et l’on peut répéter ce procédé. Partant d’un z avec Re(z) >> 1 pour lequel on connaît une bonne approximation, on peut ainsi atteindre la valeur pour un z quelconque.

Rocktaeschel (1922, suivant une indication de Gauss) propose[4] :

 

avec  , comme approximation (très bonne malgré sa singularité en ½,0). Appliquant m fois le transfert, on obtient[5] :

 

La dérivée du logarithme de la fonction gamma est appelée fonction digamma. Les dérivées d'ordre supérieur sont les fonctions polygamma.

Un analogue de la fonction gamma sur un corps fini ou un anneau fini est fourni par les sommes de Gauss.

D'après la formule des compléments, la fonction gamma ne s'annule jamais. Son inverse (en) est donc une fonction entière.

Valeurs particulièresModifier

Cette section indique quelques valeurs particulières de la fonction gamma (en) et de ses dérivées.

La valeur de   est celle de l'intégrale de Gauss ; elle peut aussi se déduire de la formule des compléments. Cette valeur permet, par récurrence, de déterminer les autres valeurs de la fonction gamma pour les demi-entiers positifs :

 
 

mais aussi négatifs, par exemple :

 

En ce qui concerne ses dérivées, avec   la constante d'Euler-Mascheroni :

 
 
 

On connaît quelques résultats de transcendance et même d'indépendance algébrique sur les valeurs de Γ en certains points rationnels.

Une conjecture de Rohrlich[6] prédit que toute relation multiplicative de la forme

 

(où désigne le corps des nombres algébriques) se déduit des trois relations standard :

 

Formule asymptotique de StirlingModifier

En z et z+1Modifier

La formule de Stirling donne un équivalent au voisinage de l'infini de la factorielle :

 

avec μ la fonction de Binet :

 

et Bi les nombres de Bernoulli. Sachant que Γ(n+1)=n! sur , cet équivalent se généralise à la fonction gamma :

 

d’où :

 

En calculant les premiers termes de e μ grâce à la formule exponentielle (en), on obtient le développement asymptotique :

 

En zModifier

L’équivalent en z vaut :

 

avec :

 

d’où le développement asymptotique :

 

Cas généralModifier

De manière plus générale, pour |a|<|z|, l’équivalent en (z+a)∉ℤ- vaut :

 

Bk sont les polynômes de Bernoulli.

En posant a valant respectivement 0, ½ et 1, et connaissant les valeurs particulières des polynômes de Bernoulli en ces points, on retrouve immédiatement les équivalents en z, z et z+1 mentionnés plus hauts.

Histoire : la naissance de la fonction gammaModifier

La première occurrence de la fonction gamma dans la littérature est due à Daniel Bernoulli[7] dans une lettre à Christian Goldbach.

 

En notation moderne[8]

 

L'article de Borwein et Corless[9] passe en revue trois siècles de travaux mathématique sur la fonction gamma.

Notes et référencesModifier

  1. a et b Voir par exemple le début de ce devoir corrigé sur la Wikiversité.
  2. En 1844, soit 32 ans avant les travaux de Weierstrass sur les fonctions entières.
  3. (en) Karl Rawer, Wave Propagation in the Ionosphere, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, .
  4. D'après (de) O. R. Rocktäschel, Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument, université technologique de Dresde, , thèse de doctorat.
  5. (de) P. E. Böhmer, Differenzengleichungen und bestimmte Integrale, Leipzig, Köhler Verlag, .
  6. (en) Serge Lang, Complex Analysis, Springer, coll. « GTM » (no 103), (ISBN 978-0-38798592-3, lire en ligne), p. 418.
  7. Paul Heinrich Fuss, Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIe siècle, vol. II, St. Pétersbourg, Académie impériale des sciences, (lire en ligne).
  8. (en) Detlef Gronau, « Why is the gamma function so as it is? », Teaching Mathematics and Computer Science, vol. 1, no 1,‎ , p. 43-53.
  9. (en) Jonathan M. Borwein et Robert M. Corless, Gamma and Factorial in the Monthly, 17 mars 2017 arXiv:1703.05349

Voir aussiModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Lien externeModifier

Calculatrice - Fonction gamma