Transformation de Mellin

En mathématiques, la transformation de Mellin est une transformation intégrale qui peut être considérée comme la version multiplicative (en) de la transformation de Laplace bilatérale. Cette transformation intégrale est fortement reliée à la théorie des séries de Dirichlet, et est souvent utilisée en théorie des nombres et dans la théorie des développements asymptotiques ; elle est également fortement reliée à la transformation de Laplace, à la transformation de Fourier, à la théorie de la fonction gamma et aux fonctions spéciales.

La transformation de Mellin a été nommée ainsi en l'honneur du mathématicien finlandais Hjalmar Mellin.

DéfinitionModifier

La transformée de Mellin d'une fonction f définie et continue par morceaux sur   est la fonction notée   ou   et définie par l'intégrale généralisée :

 .

Une condition suffisante d'existence de la transformée est donnée par le résultat suivant[1] :

Théorème — On suppose que :

  • f est continue sur   ;
  • pour un nombre réel   quand   ;
  •   quand   (f  tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand  ).

Alors l'intégrale généralisée   converge absolument pour Re (s) > α et définit une fonction holomorphe sur le demi-plan Re (s) > α.

Plus généralement, si

  • f est continue sur   ;
  • pour des nombres réels α < β,
    •   quand   et
    •   quand  ,

alors l'intégrale généralisée   converge absolument pour α < Re (s) < β et définit une fonction holomorphe sur la bande α < Re (s) < β.

ExemplesModifier

  • La transformée d'une distribution de Dirac  , avec a > 0, est une fonction exponentielle  .
  • La transformée de Mellin de la fonction  , avec a > 0, est la fonction   sur le demi-plan Re (s) > 0
    (où H est la fonction de Heaviside, f (x) = 1 si 0 < x < a et f (x) = 0 si x > a).
  • La transformée de Mellin de la fonction  , avec a > 0, est la fonction   sur le demi-plan Re (s) > 0
    (  est la fonction gamma d'Euler).
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur le demi-plan Re (s) > 0.
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande –1 < Re (s) < 1
    (l'intégrale généralisée est semi-convergente si Re (s) ≥ 0).
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande 0 < Re (s) < 1
    (l'intégrale généralisée est semi-convergente).
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande 0 < Re (s) < 1[2].
  • Plus généralement, la transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande 0 < Re (s) < Re (a)
    (  est la fonction bêta).
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande 0 < Re (s) < 2[3].
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur la bande –1 < Re (s) < 0[2].
  • La transformée de Mellin de la fonction   est la fonction   sur le demi-plan Re (s) > 1
    (  est la fonction zêta de Riemann).

Transformation de Mellin inverseModifier

La transformation inverse est

 .

La notation suppose que c'est une intégrale curviligne s'appliquant sur une droite verticale dans le plan complexe.

Théorème — On suppose que[1] :

  • f est continue sur   ;
  • pour un nombre réel   quand   ;
  •   quand   (f  tend vers 0 plus vite que toute puissance (négative) de x quand  ).

On a la formule d'inversion de Mellin valide pour tout   et tout x > 0 :

 .

Relations avec les autres transformationsModifier

Avec la transformation de Laplace bilatéraleModifier

La transformation bilatérale de Laplace ( ) peut être définie en termes de transformation de Mellin par

 .

Inversement, on peut obtenir la transformation de Mellin à partir de la transformation de Laplace bilatérale par

 .

La transformation de Mellin peut être vue comme une intégration utilisant un noyau xs qui respecte la mesure de Haar multiplicative,  , qui est invariante sous la dilatation  , c'est-à-dire  .

La transformation de Laplace bilatérale intègre en respectant la mesure de Haar additive  , qui est invariante par translation, c'est-à-dire  .

Avec la transformation de FourierModifier

On peut aussi définir la transformation de Fourier en termes de transformation de Mellin et vice-versa ; si nous définissons la transformation de Fourier comme ci-dessus, alors

 .

On peut aussi inverser le processus et obtenir

 .

La transformation de Mellin est aussi reliée aux séries de Newton ou aux transformations binomiales avec la fonction génératrice de la loi de Poisson, au moyen du cycle de Poisson-Mellin-Newton.

Intégrale de Cahen-MellinModifier

Pour  ,   et   sur la branche principale, on a

 .

Cette intégrale est connue sous le nom d'intégrale de Cahen-Mellin[4].

ApplicationsModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mellin transform » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) Henri Cohen, Number Theory, vol. II : Analytic and Modern Tools, Springer, coll. « GTM » (no 240), (lire en ligne), p. 107.
  2. a et b Cohen 2007, p. 150.
  3. Cohen 2007, p. 145.
  4. (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196 (voir les notes dans cet article pour plus de références sur le travail de Cahen et Mellin, dont la thèse de Cahen).
  5. (en) M. L. Glasser, « The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures », J. Math. Phys., vol. 14, no 3,‎ , p. 409-413.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier