Fonction bêta

fonction mathématique

En mathématiques, la fonction bêta est une des deux intégrales d'Euler, définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :

Variations de la fonction bêta pour les valeurs positives de x et y
,

et éventuellement prolongée analytiquement à tout le plan complexe à l'exception des entiers négatifs.

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction gamma.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

PropriétésModifier

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

 .

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

  (par le changement de variable  ),
 .[pourquoi ?]

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

 ,
 ,
 .

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante[1] :

 .

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial :  .

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors Β(x, y) est un nombre transcendant[2].

DérivationModifier

On a :

 

ψ(x) est la fonction digamma.

 
 

ψn(x) est la fonction polygamma.

Fonction bêta incomplèteModifier

La fonction bêta incomplète est définie par :

 

et vérifie trivialement[3] :

 

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

 

Les relations précédentes deviennent ainsi

 [4] 

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale[4] :  

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  2. (de) Theodor Schneider, « Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale », J. reine angew. Math., vol. 183,‎ , p. 110-128 (lire en ligne).
  3. (en) M. Aslam Chaudhry et Syed M. Zubair, On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications, CRC Press, (ISBN 978-1-58488-143-8, lire en ligne), p. 218.
  4. a et b (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.6.

Liens externesModifier