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Variations de la fonction Bêta pour les valeurs positives de x et y

En mathématiques, la fonction bêta est un type d'intégrale d'Euler définie pour tous nombres complexes x et y de parties réelles strictement positives par :

La fonction bêta a été étudiée par Euler et Legendre et doit son nom à Jacques Binet. Elle est en relation avec la fonction Gamma d'Euler.

Il existe aussi une version incomplète de la fonction bêta, la fonction bêta incomplète ainsi qu'une version régularisée de celle-ci, la fonction bêta incomplète régularisée.

Sommaire

PropriétésModifier

Dans sa définition sous forme d'intégrale, le changement de variable u = 1 – t prouve que cette fonction est symétrique c'est-à-dire que :

 .

Elle peut prendre aussi les formes intégrales

  (par le changement de variable  ),
 .

Elle satisfait des équations fonctionnelles telles que :

 ,
 ,
 .

Elle est liée à la fonction gamma par l'équation suivante[1] :

 .

Si x et y sont des entiers strictement positifs, cette équation se réécrit, en termes de factorielles ou de coefficient binomial :  .

Si x et y sont deux rationnels et si ni x, ni y, ni x + y ne sont entiers, alors Β(x, y) est un nombre transcendant[2].

DérivationModifier

Nous avons :

 

  est la fonction digamma.

Fonction bêta incomplèteModifier

La fonction bêta incomplète est définie par :

 

et vérifie trivialement[3] :

 

Pour x = 1, elle correspond à la fonction bêta de paramètres a et b.

La fonction bêta incomplète régularisée consiste à diviser la fonction bêta incomplète par la fonction bêta complète

 

Les relations précédentes deviennent ainsi

 [4] 

On déduit de la seconde (par une récurrence immédiate) le lien suivant avec le développement binomial et la loi binomiale[4] :  

Notes et référencesModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur la Wikiversité.
  2. (de) Theodor Schneider, « Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale », J. reine angew. Math., vol. 183,‎ , p. 110-128 (lire en ligne).
  3. (en) M. Aslam Chaudhry et Syed M. Zubair, On a Class of Incomplete Gamma Functions with Applications, CRC Press, (ISBN 978-1-58488143-8, lire en ligne), p. 218.
  4. a et b (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), § 6.6.