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Une demi-droite passant par l'origine intersecte l'hyperbole d'équation x2y2 = 1 au point (cosh a, sinh a), où a est le double de l'aire algébrique de la surface délimitée par la demi-droite, l'hyperbole et l'axe des x. Voir aussi une version animée de ce schéma, avec une comparaison avec les fonctions trigonométriques.

En mathématiques, on appelle fonctions hyperboliques les fonctions cosinus hyperbolique, sinus hyperbolique et tangente hyperbolique. Les noms « sinus », « cosinus » et « tangente » proviennent de leur ressemblance avec les fonctions trigonométriques (dites « circulaires » car en relation avec le cercle unité x2 + y2 = 1) et le terme « hyperbolique » provient de leur relation avec l'hyperbole d'équation x2y2 = 1.

Elles sont utilisées en analyse pour le calcul intégral, la résolution des équations différentielles mais aussi en géométrie hyperbolique.

Sommaire

HistoireModifier

Les fonctions hyperboliques ont été inventées par le jésuite Vincenzo Riccati dans les années 1760 alors qu'il cherchait, avec son collègue Saladini, à calculer l'aire sous l'hyperbole d'équation x2y2 = 1. La méthode géométrique qu'il employa alors était très similaire à celle que l'on peut utiliser pour calculer l'aire d'un cercle d'équation x2 + y2 = 1. Le calcul de l'aire du cercle fait intervenir les fonctions trigonométriques classiques que Riccati nommait cosinus et sinus circulaires. Par analogie, il appela alors les fonctions qu'il venait de créer cosinus et sinus hyperboliques. Ce fut un choix heureux, car cette ressemblance ne s'arrête pas à la méthode de calcul d'aire mais aussi à toutes les formules trigonométriques. Cependant, pourtant au fait du travail de son contemporain Euler, il n'utilisa pas la fonction exponentielle pour les définir mais seulement des considérations géométriques. L'autre grand mathématicien ayant étudié les fonctions hyperboliques est Jean-Henri Lambert, qui en fit une étude complète en 1770. Cette quasi-simultanéité fait que l'on attribue parfois à Lambert la paternité des fonctions hyperboliques, bien que les écrits de Riccati lui soient antérieurs de quelques années.

DéfinitionsModifier

Les fonctions hyperboliques sont analogues aux fonctions trigonométriques ou fonctions circulaires. Ce sont les fonctions :

Sinus hyperboliqueModifier

 
Sinus hyperbolique
Article détaillé : Sinus hyperbolique.

Définie comme étant la partie impaire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

 

sinh — ou sh — est une bijection de classe C de ℝ dans ℝ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est le cosinus hyperbolique. Son application réciproque est l'argument sinus hyperbolique.

Cosinus hyperboliqueModifier

 
Cosinus hyperbolique
Article détaillé : Cosinus hyperbolique.

Définie comme étant la partie paire de la fonction exponentielle, c’est-à-dire par :

 

cosh — ou ch — est une application de ℝ dans [1, +∞[ strictement croissante sur ℝ+, et paire. cosh est de classe C sur ℝ et sa dérivée est le sinus hyperbolique. Sa restriction à ℝ+ est une bijection à valeurs dans [1, +∞[ dont l'application réciproque est l'argument cosinus hyperbolique.

Tangente hyperboliqueModifier

 
Tangente hyperbolique
Article détaillé : Tangente hyperbolique.

Définie par :

 

tanh — ou th — est une bijection de classe C de ℝ dans ]–1, 1[ strictement croissante, et impaire. Sa dérivée est  . Son application réciproque est l'argument tangente hyperbolique.

Cotangente hyperboliqueModifier

 
Cotangente hyperbolique

Définie par :

 

coth est une bijection de classe C de ℝ* dans ]–∞, –1[∪]1, +∞[. Sa dérivée est  . Son application réciproque est l'argument cotangente hyperbolique.

Sécante hyperboliqueModifier

 
Sécante hyperbolique

Définie par :

 

Cosécante hyperboliqueModifier

 
Cosécante hyperbolique

Définie par :

 

Tableau de variationsModifier

Les fonctions sinh, tanh et coth sont impaires et la fonction cosh est paire, on peut donc réduire leur domaine d'étude à [0, +∞[.

x 0 +∞
cosh x 1   +∞
sinh x 0   +∞
tanh x 0   +1
coth x +∞   +1

PropriétésModifier

Par construction,  

On en déduit la formule suivante :

 

De même que les points (cos x, sin x) décrivent un cercle lorsque x parcourt ℝ, les points (cosh x, sinh x) décrivent une branche d'hyperbole.

Le paramètre x ne peut pas être interprété comme un angle, ni comme une longueur d'arc ; les fonctions hyperboliques sont périodiques, mais de période imaginaire pure.

La fonction cosh admet 1 pour minimum, en 0.

La fonction sinh est impaire et ainsi sinh(0) = 0.

Les fonctions hyperboliques satisfont à des relations, très ressemblantes aux identités trigonométriques. En fait, la règle d'Osborn[1] dit que l'on peut convertir n'importe quelle identité trigonométrique en une identité hyperbolique en la développant complètement à l'aide de puissances entières de sinus et cosinus, changeant sin en sinh et cos en cosh, et remplaçant le signe de chaque terme qui contient un produit de deux sinus en son opposé.

Cela nous permet d'obtenir par exemple, les formules d'addition et de soustraction :

 
 
 
 

et des « formules d'angle moitié » (la deuxième étant valide si x est positif ou nul) :

 
 

De ces expressions on déduit les formules suivantes relatives à la tangente hyperbolique :  

On a de même :

 
 
 

La fonction cosinus hyperbolique est convexe. Elle intervient dans la définition de la chaînette, laquelle correspond à la forme que prend un câble suspendu à ses extrémités et soumis à son propre poids.

Puisque la fonction exponentielle peut être prolongée à l'ensemble des nombres complexes, nous pouvons aussi étendre les définitions des fonctions hyperboliques à l'ensemble des nombres complexes. Les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique sont alors holomorphes et même entières.

Applications réciproquesModifier

Argument sinus hyperboliqueModifier

 
Argument sinus hyperbolique

arsinh — ou argsh[2] — est l'application réciproque de sinh. C'est une bijection de ℝ dans ℝ, impaire et strictement croissante. arsinh est dérivable sur ℝ et sa dérivée est  . arsinh admet la forme logarithmique suivante :

 .

Argument cosinus hyperboliqueModifier

 
Argument cosinus hyperbolique

arcosh — ou argch[3] — est l'application réciproque de la restriction de cosh dans ℝ+. C'est une bijection de [1, +∞[ dans ℝ+, strictement croissante. arcosh est dérivable sur ]1, +∞[ et sa dérivée est  . arcosh admet une forme logarithmique :

 .

Argument tangente hyperboliqueModifier

 
Argument tangente hyperbolique

artanh — ou argth[4] — est l'application réciproque de tanh. C'est une bijection de ]–1, 1[ dans ℝ, impaire, strictement croissante. artanh est dérivable sur ]–1, 1[ et sa dérivée est  . artanh admet une forme logarithmique :

 .

Argument cotangente hyperboliqueModifier

 
Argument cotangente hyperbolique

arcoth — ou argcoth[5] — est l'application réciproque de coth. C'est une bijection de ]–∞, –1[∪]1, +∞[ dans ℝ*. arcoth est dérivable sur ]–∞, –1[∪]1, +∞[ et sa dérivée est  . arcoth admet une forme logarithmique :

 .

Argument sécante hyperboliqueModifier

 .

Argument cosécante hyperboliqueModifier

 .

Démonstrations de ces résultatsModifier

Le calcul explicite de ces formes logarithmiques revient à résoudre, par exemple, l'équation sinh t = x ; posant et = T, on est amené à l'équation du second degré T2 – 2xT –1 = 0, dont la seule solution positive est T = x + 1 + x2 mais il peut être plus simple de remarquer que, puisque cosh2t – sinh2t = 1, on a et = sinh t + cosh t = x + 1 + x2.

Relations entre fonctions hyperboliques et fonctions circulairesModifier

Des formules d'Euler, on déduit immédiatement :

 
 

Ou encore :

 
 

D'autres relations entre fonctions hyperboliques et circulaires sont données par la fonction de Gudermann ou Gudermannien. Elles ont été dégagées par le mathématicien Christoph Gudermann. Le Gudermannien θ de t peut être défini par sinh t = tan θ. On en déduit de nombreuses relations entre les fonctions trigonométriques de θ et les fonctions hyperboliques de t. Par exemple :

 
 
 

Notes et référencesModifier

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Osborn's Rule », sur MathWorld.
  2. La norme ISO 31-11 recommande la notation « arsinh » pour cette fonction.
  3. La norme ISO 31-11 recommande la notation « arcosh » pour cette fonction.
  4. La norme ISO 31-11 recommande la notation « artanh » pour cette fonction.
  5. La norme ISO 31-11 recommande la notation « arcoth » pour cette fonction.

Voir aussiModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

Article connexeModifier

Lien externeModifier

(en) « Vincent Riccati, S.J. (1707 - 1775) and his hyperbolic functions »