Transformation bilatérale de Laplace

En analyse, la transformation bilatérale de Laplace est la forme la plus générale de la transformation de Laplace, dans laquelle l'intégration se fait à partir de moins l'infini plutôt qu'à partir de zéro.

DéfinitionModifier

La transformée bilatérale de Laplace d'une fonction   de la variable réelle est la fonction   de la variable complexe définie par :

 

Cette intégrale converge pour  , c'est-à-dire pour   appartenant à une bande de convergence dans le plan complexe (au lieu de  ,   désignant alors l'abscisse de convergence, dans le cas de la transformation monolatérale). De façon précise, dans le cadre de la théorie des distributions, cette transformée « converge » pour toutes les valeurs de   pour lesquelles   (en notation abusive) est une distribution tempérée et admet donc une transformation de Fourier.

Propriétés élémentairesModifier

Les propriétés élémentaires (injectivité, linéarité, etc.) sont identiques à celles de la transformation monolatérale de Laplace.

Ambiguïtés à éviterModifier

Il est essentiel, quand on utilise la transformation bilatérale de Laplace, de préciser la bande de convergence. Soit par exemple  .

Si la bande de convergence est  , l'« antécédent » de cette transformation de Laplace est la fonction de Heaviside  . En revanche, si la bande de convergence est  , cet antécédent est  .

Convolution et dérivationModifier

Soit   et   deux distributions convolables, par exemple ayant chacune un support limité à gauche, ou l'une d'entre elles étant à support compact. Alors (comme dans le cas de la transformation monolatérale),

 

En particulier,   et  , donc

 


Transformées de Laplace des hyperfonctionsModifier

On peut étendre la transformation de Laplace au cas de certaines hyperfonctions, dites « hyperfonctions de Laplace » ou « hyperfonctions de type exponentiel »[1]. Pour une hyperfonction définie par une distribution, on retrouve la théorie qui précède. Mais par exemple

 

bien que n'étant pas une distribution (car elle est d'ordre infini localement, à savoir en 0), est une hyperfonction dont le support est   et qui admet pour transformée de Laplace

 

  désigne la fonction de Bessel de première espèce habituelle, à savoir la fonction entière

 

On obtient en effet en substituant cette expression dans la précédente

 

ce qui est bien cohérent avec la définition de   puisque  .

Relation entre la transformation bilatérale et la transformation monolatéraleModifier

Théorie élémentaireModifier

Soit   une fonction définie dans un voisinage ouvert de  , continue en 0, et admettant une transformée de Laplace bilatérale  . Sa transformée monolatérale de Laplace, que nous noterons ici  , est donnée par

 

  est la fonction de Heaviside. On a

 

par conséquent

 

d'où la formule classique

 


GénéralisationModifier

Soit   une distribution à support positif,   une fonction indéfiniment dérivable dans un intervalle ouvert contenant  , et  . En posant  ,   est une distribution à support positif, dont la transformée de Laplace est (en notation abusive)

 

  est l'abscisse de convergence. Les distributions   et   ont même restriction à tout intervalle ouvert de la forme   dès que   est suffisamment petit. On peut donc écrire   pour tout entier  . D'autre part,

 

avec   et, d'après la « théorie élémentaire » ci-dessus,  . Finalement,


 

En procédant par récurrence, on obtient les formules générales de l'article Transformation de Laplace.

  • Formalisation[2] (fin)

Définissons maintenant la relation d'équivalence suivante :   et   désignant deux distributions telles que ci-dessus, nous écrirons   si   et   ont même restriction à l'intervalle   dès que   est suffisamment petit. Alors   ne dépend que de la classe d'équivalence   de   et qui est appelée un « germe » de fonction généralisée définie dans un voisinage de  , et, par abus de langage, une « fonction généralisée à support positif » (voir l'article Transformation de Laplace). On écrira  . Notons enfin que   si, et seulement si  .

ApplicationsModifier

La transformation de Laplace bilatérale est utilisée notamment pour la conception de filtres analogiques classiques (Butterworth, Tchebychev, Cauer, etc.)[3], pour le filtre optimal de Wiener, en statistiques où elle définit la fonction génératrice des moments d'une distribution, elle joue un rôle essentiel dans la formulation à temps continu de la factorisation spectrale causale directe et inverse, elle est très utilisée enfin pour résoudre les équations intégrales (voir l'article Opérateur intégral).

Généralisation au cas de plusieurs variablesModifier

La transformation bilatérale de Laplace se généralise au cas de fonctions ou de distributions à plusieurs variables, et Laurent Schwartz en a fait la théorie complète. Soit   une distribution définie sur  . L'ensemble des   appartenant à   pour lesquels   (en notation abusive) est une distribution tempérée sur  , est cette fois un cylindre de la forme    est un sous-ensemble convexe de   (dans le cas d'une variable,   n'est autre que la bande de convergence évoquée plus haut). Soit alors pour   dans   la distribution   (de nouveau en notation abusive). Cette distribution est tempérée. Notons   sa transformation de Fourier. La fonction   est appelée la transformée de Laplace de   (notée  ) et, avec  ,   est notée  . Ces remarques préliminaires étant faites, la théorie devient assez semblable à celle correspondant aux distributions d'une variable.

Considérations sur les supportsModifier

Le théorème de Paley-Wiener et sa généralisation due à Schwartz sont couramment énoncés à partir de la transformation de Fourier-Laplace (voir infra). Il peut tout aussi bien s'exprimer à partir de la transformation de Laplace, et on obtient alors l'énoncé suivant:

(1) Théorème de Paley-Wiener :

Pour qu'une fonction entière   soit la transformée de Laplace d'une fonction indéfiniment dérivable sur   de support inclus dans la "boule" fermée de centre   et de rayon  , notée  , il faut et il suffit que pour tout entier  , il existe une constante   tels que pour tout   appartenant à  ,
 

  désigne le produit scalaire usuel dans   de   et de  .

(2) Théorème de Paley-Wiener-Schwartz :

Pour qu'une fonction entière   soit la transformée de Laplace d'une distribution sur   de support inclus dans  , il faut et il suffit qu'il existe un entier   et une constante   tels que pour tout   appartenant à  ,
 

.

Un théorème dû à Jacques-Louis Lions donne d'autres informations sur le support d'une distribution à partir de sa transformée de Laplace. Dans le cas d'une seule variable, il prend la forme suivante (voir Inversion):

Pour qu'une fonction holomorphe sur   soit la transformée de Laplace d'une distribution   sur   à support dans la demi-droite  , il faut et il suffit que   soit majorée, lorsque le réel   est assez grand, par un polynôme en  .

Ce théorème montre par exemple que l'hyperfonction considérée au paragraphe « Transformées de Laplace des hyperfonctions » n'est pas une distribution ayant son support en 0.

Transformée de Fourier-LaplaceModifier

En posant  , on obtient la transformée de Fourier-Laplace. Considérons, pour simplifier, la transformée de Fourier-Laplace d'une fonction d'une variable réelle. On a alors  , par conséquent si la bande de convergence de la transformée de Laplace est  , celle de la transformée de Fourier-Laplace est  .

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier