Fonction porte

La fonction porte, généralement notée Π, est la fonction indicatrice de l'intervalle réel [–1/2, 1/2], c'est-à-dire la fonction mathématique par laquelle un nombre réel a une image nulle, sauf s'il est compris entre –1/2 et 1/2, auquel cas son image vaut 1. Son graphe a une forme similaire à celle d'une porte, d'où son nom.

Graphe de la fonction porte.

DéfinitionModifier

La fonction porte  , définie sur les réels et à valeurs dans  , est définie par :

 

Par généralisation, on appelle également fonction porte toute fonction déduite par translation et/ou dilatation de la fonction définie ci-dessus. Les notations varient.

La fonction porte peut s'exprimer à l'aide de la fonction de Heaviside par :

 .

On peut translater la fonction porte en additionnant ou en soustrayant à t un facteur de translation (attention : la soustraction induit un retard et l'addition induit un avancement par rapport à 0).

On peut élargir la porte de [–1/2, 1/2] à [–a/2, a/2] en divisant t par a dans l'expression de la porte originale.

Transformée de FourierModifier

La transformée de Fourier de la fonction porte définie ci-dessus est un sinus cardinal :

 [1].

ApplicationsModifier

La fonction porte sert de base pour définir la fonction densité d'une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue : si X est une variable aléatoire suivant une loi uniforme continue sur [a , b], alors sa fonction densité est :

 

NoteModifier

  1. On en trouvera deux démonstrations dans cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier