Théorème de convergence dominée

En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de convergence dominée est un des théorèmes principaux de la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Henri-Léon Lebesgue (1875-1941)

Le théorème de convergence dominée

Théorème —  Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$, à valeurs réelles ou complexes, telle que :

• la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers une fonction $f$ ;
• il existe une fonction intégrable $g$ telle que :

$\forall n\in \mathbb {N} \quad \forall x\in E\quad |f_{n}(x)|\leq g(x).$

Alors $f$ est intégrable et

$\lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0.$

En particulier :

$\lim _{n\to \infty }\,\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int \lim _{n\to \infty }f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .$

Démonstration par le lemme de Fatou

Référence : Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions]

Commençons par montrer que $f$ est intégrable.

Puisque $f$ est limite simple d'une suite de fonctions mesurables, elle est mesurable et comme pour tout $n\in \mathbb {N}$ on a $|f_{n}(x)|\leq g(x)$, par passage à la limite, $|f(x)|\leq g(x)\forall x\in E$ donc $f$ est intégrable.

Ensuite, on a $2g-|f_{n}-f|\geq 0$ donc on peut appliquer le lemme de Fatou,

${\begin{aligned}\int 2g~\mathrm {d} \mu &=\int \liminf _{n\to \infty }\;(2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &\leq \liminf _{n\to \infty }\int (2g-|f_{n}-f|)~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu +\liminf _{n\to \infty }\int -|f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\ &=\int 2g~\mathrm {d} \mu -\limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \\\end{aligned}}$

et comme $\int g~\mathrm {d} \mu <\infty \;$ alors, $\limsup _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \leq 0$

d'où

$\lim _{n\to \infty }\int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu =0$

On déduit de cela :

$\left|\int f_{n}~\mathrm {d} \mu -\int f~\mathrm {d} \mu \right|=\left|\int (f_{n}-f)~\mathrm {d} \mu \right|\leq \int |f_{n}-f|~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;0$

et donc

$\int f_{n}~\mathrm {d} \mu \;\;{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\;\int f~\mathrm {d} \mu .$

Démonstration par le théorème de convergence monotone

Posons pour tout $n\in \mathbb {N}$ :

$g_{n}=|f_{n}-f|,\quad {\text{puis}}\quad h_{n}=\sup _{m\geq n}g_{m}\quad {\text{et}}\quad k_{n}=2g-h_{n}.$

Les $k_{n}$ forment une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite $2g$. D'après le théorème de convergence monotone on a donc

$\lim \int k_{n}~\mathrm {d} \mu =\int 2g~\mathrm {d} \mu$

et par conséquent

$\lim \int h_{n}~\mathrm {d} \mu =0,\quad {\text{puis}}\quad \lim \int g_{n}~\mathrm {d} \mu =0\quad {\text{car}}\quad 0\leq g_{n}\leq h_{n},\forall n\in \mathbb {N} .$

La fin de la preuve est la même que précédemment.

Exemples

Un cas particulier élémentaire mais utile

Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions continues à valeurs réelles ou complexes sur un intervalle $I$ de la droite réelle. On fait les deux hypothèses suivantes :

• la suite $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge simplement vers une fonction $f$ ;
• il existe une fonction continue $g$ telle que$\forall n\in \mathbb {N} ,\forall x\in I,|f_{n}(x)|\leq g(x){\text{ et }}\int _{I}g(x){\rm {d}}x<\infty .$Alors$\int |f(x)|\,{\rm {d}}x<\infty {\text{ et }}\lim _{n\to \infty }\int f_{n}(x)\,{\rm {d}}x=\int f(x)\,{\rm {d}}x.$

Remarques sur l'hypothèse de domination

L'existence d'une fonction intégrable $g$ majorant toutes les fonctions |f_n| équivaut à l'intégrabilité de la fonction $\sup _{n}|f_{n}|$ (la plus petite fonction majorant toutes les fonctions |f_n|).

Cette hypothèse est indispensable pour appliquer le théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f_n = 1/n1_{[0, n[} — où n > 0 et 1_{[0, n[} désigne la fonction indicatrice de l'intervalle [0, n[ — converge simplement vers la fonction nulle (la convergence est même uniforme) mais la suite des intégrales des f_n, loin de tendre vers l'intégrale (nulle) de cette limite, vaut constamment 1. D'après le théorème, $\sup _{n}|f_{n}|$ n'est donc pas intégrable. (Effectivement : $\sup _{n}|f_{n}(t)|$ = 1/E(t) + 1, or la série harmonique diverge.)

Il peut cependant arriver que la conclusion souhaitée soit vraie sans qu'on puisse la déduire du théorème : par exemple sur [0, +∞[, la suite des fonctions f_n = 1_{[n, n + 1/n[} converge vers 0 à la fois simplement et dans L¹, bien que sup_n|f_n| ne soit pas intégrable.

Convergence d'une suite d'indicatrices

Appliquons le théorème au cas où chaque f_n est l'indicatrice d'une partie A_n de E. Puisque ces fonctions sont à valeurs réelles, la convergence simple de cette suite de fonctions équivaut à l'égalité de ses limites inférieure et supérieure, respectivement égales aux indicatrices des limites inférieure et supérieure de la suite d'ensembles. On obtient donc :

Soit $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de parties mesurables d'un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ telle que :

• les limites inférieure et supérieure de la suite $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sont égales ;
• $\mu (\cup _{n\in \mathbb {N} }A_{n})<\infty .$

Alors l'ensemble mesurable A défini par

$A:=\liminf _{n}A_{n}=\limsup _{n}A_{n}$

est de mesure finie et vérifie :

$\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n}\Delta A)=0,$

où la notation Δ désigne la différence symétrique.

En particulier :

$\lim _{n\to \infty }\mu (A_{n})=\mu (A).$

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au théorème de convergence dominée. En effet

$\mu (A_{n}\Delta A)=\mu (A_{n}\cup A)-\mu (A_{n}\cap A)\leq \mu (\cup _{p\geq n}A_{p})-\mu (\cap _{p\geq n}A_{p}){\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}\mu (\limsup _{n}A_{n})-\mu (\liminf _{n}A_{n})=0.$

Généralisation

En théorie de la mesure on peut définir la notion de propriété presque partout, c'est pourquoi on peut énoncer le théorème de convergence dominée de façon plus générale :

Théorème —  Soit $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré $(E,{\mathcal {A}},\mu )$, à valeurs dans ℝ ou ℂ, telle que :

• la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ admet une limite presque partout, c'est-à-dire, $\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)$ existe pour presque tout x ;
• il existe une fonction intégrable g telle que pour tout entier naturel n,$|f_{n}(x)|\leq g(x)$ μ-presque partout.

Alors, il existe une fonction intégrable f telle que f_n converge vers f presque partout, et

$\lim _{n\to \infty }\int f_{n}~\mathrm {d} \mu =\int f~\mathrm {d} \mu .$

Afin de démontrer ce théorème, il suffit de faire en sorte de se ramener au cas précédent en s'affranchissant des parties négligeables.

Démonstration

Soit $N_{0}$ un ensemble négligeable sur le complémentaire duquel $f_{n}$ converge simplement et soit, pour tout entier $k>0$, $N_{k}=\{x:|f_{k}(x)|>g(x)\}$. Tous ces ensembles sont négligeables, donc en posant $N=\cup _{k=0}^{\infty }N_{k}$, on a toujours $\mu (N)=0$. Il suffit, pour conclure, d'appliquer le théorème de convergence dominée dans le cas simple (sur le complémentaire de $N$), et de compléter la définition de la limite $f$ en la choisissant nulle sur $N$.

Remarque :

Dans le cas d'une mesure de probabilité, la première hypothèse peut être modifiée en :

• la suite de fonctions $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ converge en probabilité vers une fonction mesurable f.

Exemple d'application

Si $f\in \mathrm {L} ^{1}(\mathbb {R} )$, sa transformée de Fourier $y\mapsto {\widehat {f}}(y)=\int f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\,{\rm {d}}x$ est continue. La vérification de l'hypothèse de domination est immédiate, puisque $\left|f(x){\rm {e}}^{-{\rm {i}}xy}\right|=|f(x)|$ ; le théorème de convergence dominée permet de voir que ${\widehat {f}}$ est séquentiellement continue, donc continue.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale paramétrique
• Théorème d'interversion série-intégrale
• Théorème de convergence monotone

Liens externes

• Théorème de la convergence dominée de Lebesgue. Corollaires sur les-mathematiques.net
• Le Théorème de la convergence dominée pour les fonctions Riemann-intégrables, J.-F. Burnol, notes d'un cours de DEUG à l'université de Lille
• Théorèmes de Lebesgue dans un cas simple