La transformée de Fourier représente une fonction par la densité spectrale dont elle provient, en tant que moyenne de fonctions trigonométriques de toutes fréquences. La théorie de la mesure ainsi que la théorie des distributions permettent de définir rigoureusement la transformée de Fourier dans toute sa généralité, elle joue un rôle fondamental dans l'analyse harmonique.
La transformation de Fourier est une opération qui transforme une fonction intégrable sur ℝ en une autre fonction, décrivant le spectre fréquentiel de cette dernière. Si f est une fonction intégrable sur ℝ, sa transformée de Fourier est la fonction donnée par la formule[1] :
Il est possible de choisir une définition alternative pour la transformation de Fourier. Ce choix est une affaire de convention dont les conséquences ne se manifestent (en général) que par des facteurs multiplicatifs constants. Par exemple, certains scientifiques[Lesquels ?] utilisent ainsi[réf. nécessaire] :
avec t en secondes et ν la fréquence (en hertz).
Certains utilisent (pour des raisons de symétrie avec la transformation de Fourier inverse) la transformation suivante[2] :
avec t en secondes et ω la pulsation (en radians par seconde).
Cette définition n'est cependant pas adaptée au traitement des produits de convolution : à cause du facteur , on a , à moins d'introduire un tel facteur dans la définition du produit de convolution.
L'ensemble de départ est l'ensemble des fonctions intégrables f d'une variable réelle x. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des fonctions d'une variable réelle ξ. Concrètement lorsque cette transformation est utilisée en traitement du signal, on notera volontiers t à la place de x et ω ou 2πν à la place de ξ qui seront les variables respectives de temps et de pulsation ou de fréquence. On dira alors que f est dans le domaine temporel, et que est dans le domaine fréquentiel.
En physique, la transformation de Fourier permet de déterminer le spectre d'un signal. Les phénomènes de diffraction donnent une image de l'espace dual du réseau, ils sont une sorte de « machine à transformation de Fourier » naturelle. Pour ces applications, les physiciens définissent en général la transformation directe avec un facteur et la transformation de Fourier inverse avec le même préfacteur.
La notation peut aussi être remplacée par F(ƒ) ou TF(ƒ). Dans cet article, on utilisera exclusivement la première notation.
Il est également d'usage dans certaines communautés scientifiques de noter f(x) pour la fonction de départ et f(p) pour sa transformée, faisant ainsi correspondre à x, y, z les variables duales p, q, r. Cette notation est conforme à l'interprétation physique inspirée par la mécanique quantique : dualité entre position et quantité de mouvement. Cette notation n'est pas retenue ici.
Le cadre le plus naturel pour définir les transformations de Fourier est celui des fonctions intégrables. Toutefois, de nombreuses opérations (dérivations, transformation de Fourier inverse) ne peuvent être écrites en toute généralité. On doit à Plancherel[réf. nécessaire] l'introduction de la transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable, pour lesquelles la formule d'inversion est vraie. Puis la théorie des distributions de Schwartz, et plus particulièrement des distributions tempérées permit de trouver un cadre parfaitement adapté.
On peut généraliser la définition de la transformation de Fourier à plusieurs variables, et même sur d'autres groupes que le groupe additif ℝn. Ainsi, on peut la définir sur le groupe additif ℝ/ℤ, c'est-à-dire sur les fonctions de période 1 — on retrouve ainsi les séries de Fourier —, et plus généralement sur des groupes localement compacts, pas nécessairement commutatifs, et en particulier sur des groupes finis. Ces définitions font intervenir les groupes duaux, ainsi que la mesure de Haar.
La contraction dans un domaine (temporel, spatial ou fréquentiel) implique une dilatation dans l'autre. Un exemple concret de ce phénomène peut être observé par exemple sur un tourne-disque. La lecture d'un 33 tours à 45 tours par minute implique une augmentation de la fréquence du signal audio (a > 1), on contracte le signal audio dans le domaine temporel ce qui le dilate dans le domaine fréquentiel.
Si la fonction f est à support borné (c.-à-d. si ) alors est à support infini. Inversement, si le support spectral de la fonction est borné alors f est à support non borné.
Si f est une fonction non nulle sur un intervalle borné alors est une fonction non nulle sur et inversement, si est non nulle sur un intervalle borné alors f est une fonction non nulle sur .
Par changement de variable on trouve des formules intéressantes lorsqu'on effectue une translation, dilatation du graphe de f.
Supposons que la fonction soit intégrable ; alors on peut dériver la formule de définition sous le signe d'intégration. On constate alors que la dérivée est la transformée de Fourier de g.
Si f est localement absolument continue (c.-à-d. dérivable presque partout et égale à « l'intégrale de sa dérivée ») et si f et f ' sont intégrables, alors[3] la transformée de Fourier de la dérivée de f est .
On peut résumer les deux dernières propriétés : notons D l'opération
et M la multiplication par l'argument :
.
Alors, si f satisfait des conditions fonctionnelles convenables, et .
On s'affranchira de ces conditions fonctionnelles en élargissant la classe des objets sur lesquels opère la transformation de Fourier. C'est une des motivations de la définition des distributions.
Si la transformée de Fourier de f, notée , est elle-même une fonction intégrable, la formule dite de transformation de Fourier inverse, opération notée , et appliquée à , permet (sous conditions appropriées) de retrouver f à partir des données fréquentielles :
.
Cette opération de transformation de Fourier inverse a des propriétés analogues à la transformation directe, puisque seuls changent le coefficient multiplicatif et le –i devenu i.
Dans le cas des définitions alternatives, la transformation de Fourier inverse devient :
Soit h une fonction complexe définie sur ℝ et deux fois continûment différentiable. On suppose que h vérifie l'estimation
et que les deux premières dérivées de h sont intégrables sur ℝ. Alors la transformée de Fourier de h vérifie une estimation analogue
.
Soit y un nombre réel qui, pour le moment, est simplement un paramètre, et notons :
.
On vérifie que f a les mêmes propriétés fonctionnelles que h. Par conséquent, on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson à f, avec la période 2π :
.
Mais le calcul de donne :
.
On peut donc réécrire la formule sommatoire de Poisson en termes de h, et il vient :
.
On multiplie les deux membres de cette identité par :
.
On remarque que les séries apparaissant de part et d'autre sont normalement convergentes pour la norme du maximum. On va donc pouvoir échanger la sommation et l'intégration par rapport à y sur l'intervalle [0 ; 1].
À gauche, l'intégration par rapport à y ne laisse subsister qu'un seul terme, celui correspondant à n = 0. À droite, on intègre par rapport à y et l'on effectue dans chaque intégrale le changement de variable y + k = ξ. On obtient ainsi la formule
.
On passe au cas général de la formule d'inversion de Fourier pour une fonction f intégrable ainsi que sa transformée de Fourier par une méthode de densité. On approche f par une suite de fonctions fp vérifiant les hypothèses fonctionnelles de la présente démonstration. On doit bien sûr supposer que les fp et leurs transformées de Fourier convergent vers leurs limites respectives f et en norme L1(ℝ). On peut construire de telles approximations en tronquant f, c'est-à-dire en le remplaçant par 0 en dehors de l'intervalle [–p, p], et en le régularisant par convolution. Si ϕ est une fonction deux fois continûment différentiable, d'intégrale 1, et à support borné, on pose ϕp(x) = p ϕ(px) et l'on convole la fonction tronquée f|[–p,p] par ϕp. C'est une idée raisonnable d'utiliser ici le même paramètre p.
La dernière égalité vient de ce que le membre de gauche est standard, que la somme de Riemann s'effectue sur une partition de longueur infiniment petite (π/T), et donc que le membre de droite est la partie standard du membre intermédiaire. L'égalité recherchée est donc vraie pour toutes les fonctions standard de classe C∞ à support compact et tout x standard. Par le principe de transfert, elle est aussi vérifiée pour toutes les fonctions C∞ à support compact et tout x, puis par densité des fonctions C∞ à support compact dans l'espace des fonctions intégrables, pour toutes les fonctions intégrables dont la transformée est intégrable et pour presque tout x.
Si f est une fonction intégrable sur ℝn, sa transformée de Fourier est donnée par la formule :
.
Si A est une isométrie linéaire directe, .
Il en résulte que la transformée de Fourier d'une fonction radiale est radiale.
Expression de la transformée de Fourier dans ℝn d'une fonction radiale
Par définition :
.
Si l'on se place dans le cas où f est radiale (ou à symétrie sphérique) alors f ne dépend des variables x1, ..., xn que par l'intermédiaire de la variable . On montre alors que ne dépend des variables t1, ..., tn que par l'intermédiaire de la variable .
Soit f(x1, ... , xn) = g(ρ).
En notant les vecteurs :
En passant des coordonnées cartésiennes aux coordonnées polaires dans ℝn :
Considérons la rotation telle que
On ne change pas la valeur de l'intégrale si on remplace par du fait que g est radiale.
Comme et
La transformée de Fourier d'une fonction radiale est donc aussi une fonction radiale (qui ne dépend que de ).
On rappelle la correspondance entre coordonnées sphériques et coordonnées polaires dans ℝn, coordonnées aussi appelées « Coordonnées hypersphériques ».
.
On montre par ailleurs que le jacobien de la transformation des coordonnées cartésiennes en coordonnées hypersphériques est :
avec φ1 ≤ j ≤ n – 2 ∈ [0,π] et φn – 1 ∈ [0,2π].
Il en résulte :
Du fait de la symétrie radiale, on ne change rien de l'intégrale si on considère parallèle à l'axe x1. Cela revient alors à avoir θ = φ1 (et indépendant des φj ≠ 1)
En intégrant par parties l'intégrale en numérateur, on établit la relation :
On notera alors : .
En dérivant une seconde fois :
.
On reconnaît ici une équation qui est proche de l'équation différentielle de Bessel. Pour faire disparaître le facteur n – 1 du deuxième terme, posons :
.
En reportant cette expression dans l'équation différentielle, on arrive à :
.
Il suffit alors de poser m = n – 2/2 pour arriver à l'équation différentielle de Bessel suivante :
Il s'agit bien d'une équation différentielle de Bessel dont la fonction de Bessel est solution. Il en résulte alors la relation suivante, par définition de la fonction de Bessel :
Avec
En revenant à l'expression de la transformée de Fourier :
.
Si la transformée de Fourier de f est elle-même une fonction intégrable, on a alors la formule d'inversion :
.
Par conséquent, la transformation de Fourier de L1 dans C0 est injective (mais pas surjective).
Transformation de Fourier pour les fonctions de carré sommable
Lemme — Soit h une fonction complexe deux fois continûment dérivable sur ℝ, qui vérifie l'estimation
(où C est une constante),
et dont les deux premières dérivées sont intégrables. Ceci implique que la transformée de Fourier est bien définie et de carré intégrable. De plus, on a l'identité :
On reprend la formule établie ci-dessus dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier :
.
On prend le carré du module des deux membres, et l'on intègre sur l'intervalle [0 ; 1] par rapport à y et sur l'intervalle [0 ; 2π] par rapport à x :
.
On peut échanger l'ordre de la sommation et des deux intégrations dans l'expression ci-dessus, parce que les hypothèses faites sur h impliquent que les séries convergent normalement dans l'espace des fonctions continues de x et y, périodiques de période 2π en x et de période 1 en y.
L'intégration en y du premier membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels m et n sont égaux, et l'intégration en x du deuxième membre ne laisse subsister que les termes pour lesquels j et k sont identiques. Il reste donc :
.
Il suffit de faire dans le premier membre le changement de variable dans chaque intégrale x + 2π n = x' et dans le second le changement de variable dans chaque intégrale y + k = ξ, et l'on obtient la formule :
.
Après changement de la variable muette x' en x, on obtient la formule annoncée.
Une fois démontrée dans le lemme ci-dessus la formule de Plancherel pour une classe de fonctions suffisamment régulières, on étend par densité la transformation de Fourier à tout L2(ℝ).
Extension de la transformation de Fourier par densité
On adopte encore les mêmes notations que dans la démonstration de la formule d'inversion de Fourier par la formule sommatoire de Poisson, donc ϕ est une fonction deux fois continûment différentiable, à support compact, et d'intégrale 1. On pose ϕp(x) =p ϕ(px).
Soit h une fonction de carré intégrable, et soit p un nombre entier quelconque. On définit
et l'on peut montrer le résultat suivant :
.
La démonstration utilise des techniques classiques d'approximation par régularisation.
D'autre part, les fonctions hp ont les propriétés nécessaires pour appliquer le lemme ci-dessus, et en particulier
.
Comme la suite (hp)p ≥ 1 est de Cauchy dans l'espace L2(ℝ), la suite des transformées de Fourier est aussi de Cauchy, donc elle converge. Sa limite, que l'on note , ne dépend pas du choix de la suite d'approximations. En effet, si gp était une autre suite d'approximations convergeant vers h en moyenne quadratique, et satisfaisant les conditions fonctionnelles sous lesquelles on peut appliquer la formule sommatoire de Poisson, on aurait l'estimation
,
qui tend vers 0 pour p tendant vers l'infini. Par conséquent, tend aussi vers 0 et l'on conclut que la limite de la suite est bien .
Théorème de Plancherel — Soit f une fonction complexe sur ℝ et de carré sommable. Alors la transformée de Fourier de f peut être définie comme suit : pour tout p entier, on pose
La suite des transformées de Fourier converge dans L2(ℝ), et sa limite est la transformée de Fourier , c'est-à-dire
.
De plus, on a l'identité :
.
De façon similaire, si l'on pose
,
les gp convergent en moyenne quadratique vers f.
Démonstration du théorème de Plancherel
L'identité suivante résulte du procédé d'extension décrit ci-dessus :
.
Considérons alors la suite de fonctions fp = f 1{[–p,p]} . En vertu du théorème de convergence dominée de Lebesgue pour les fonctions de carré sommable, la suite des fp converge en moyenne quadratique vers f et par conséquent, on aura aussi
.
En d'autres termes, converge en moyenne quadratique vers .
La démonstration pour la formule d'inversion est analogue.
Ainsi la transformation de Fourier-Plancherel définit un automorphisme intemporel de l'espace L2, qui est une isométrie, à condition de faire un changement d'échelle si l'on utilise la notation en pulsation
La définition de la transformation de Fourier-Plancherel est compatible avec la définition habituelle de la transformée de Fourier des fonctions intégrables. Sur l'intersection L1(ℝ)} ∩ L2(ℝ) des domaines de définition, on montre à l'aide du théorème de convergence dominée de Lebesgue que les deux définitions coïncident.
Nous venons de voir que la transformation de Fourier induit sur l'espace de HilbertL2(ℝ) un opérateur linéaire. Nous en récapitulons ici les propriétés :
est un opérateur unitaire de L2. Il s'agit en particulier d'une isométrie. On retrouve le premier fait, connu sous le nom de formule de Parseval, affirmant que pour toutes fonctions f, g ∈ L2(ℝ),
,
où Hn(x) sont les polynômes d'Hermite « probabilistes », qui s'écrivent
.
Avec ces notations, la formule suivante récapitule la situation
.
On retrouve la gaussienne comme première fonction d'Hermite. Ces fonctions appartiennent à la classe de Schwartz.
On peut remarquer que les répartitions d'une fonction et de sa transformée de Fourier ont des comportements opposés : plus la masse de f(x) est « concentrée », plus celle de la transformée est étalée, et inversement. Il est en fait impossible de concentrer à la fois la masse d'une fonction et celle de sa transformée.
Ce compromis entre la compaction d'une fonction et celle de sa transformée de Fourier peut se formaliser par un principe d'incertitude en considérant une fonction et sa transformée de Fourier comme des variables conjuguées par la forme symplectique sur le domaine temps-fréquence : par la transformation canonique linéaire, la transformation de Fourier est une rotation de 90° dans le domaine temps–fréquence qui préserve la forme symplectique.
Supposons f intégrable et de carré intégrable. Sans perte de généralité, on supposera f normalisée :
L'égalité n'est atteinte que pour (alors ) pour σ > 0 arbitraire et C1 telle que f est L2–normalisée, soit, si f est une fonction gaussienne (normalisée) centrée en 0 et de variance σ2, et sa transformée de Fourier est une gaussienne de variance σ–2.
Transformation de Fourier sur l'espace de Schwartz
L'espace de Schwartz est l'espace des fonctions f de classe C∞ sur , telles que f et toutes ses dérivées soient à décroissance rapide. C'est un sous-espace vectoriel de L1, donc pour lequel la transformée de Fourier est définie.
Ces fonctions sont à la fois temporellement et fréquentiellement à décroissance exponentielle. L'intérêt de la classe de Schwartz résulte de la propriété d'échange entre régularité et décroissance à l'infini qu'opère la transformée de Fourier.
Toute fonction de Schwartz est de classe C∞ avec des dérivées toutes intégrables. On en déduit que sa transformée de Fourier est à décroissance rapide.
Toute fonction de Schwartz est à décroissance rapide. On en déduit que sa transformée de Fourier est de classe C∞.
Ainsi, on visualise intuitivement pourquoi l'espace de Schwartz est invariant par transformation de Fourier. Cet espace est donc très commode pour l'utilisation de cette dernière. De plus, l'espace de Schwartz est dense dans L1 et dans L2, et pourrait donc servir de base pour la définition de la transformation de Fourier sur ces espaces.
Formule d'inversion de Fourier sur —
La transformée de Fourier induit un automorphismebicontinu de l'espace de Schwartz sur lui-même, dont l'inverse est défini par
Prouvons d'abord que est stable par . Par commodité, nous ne traiterons que le cas n = 1, mais le cas quelconque se traite de manière similaire. Soit donc .
D'une part, la décroissance rapide implique que pour tout entier naturel n, est intégrable. La fonction est donc définie et C∞.
D'autre part, pour tout couple d'entiers naturels (n,k), la fonction est dans , donc dans L1. Sa transformée de Fourier tend vers 0 à l'infini. Or, en appliquant les propriétés d'échange entre multiplication par un polynôme et dérivation,,ce qui prouve la décroissance rapide de ainsi que toutes ses dérivées successives. Elle satisfait donc aux conditions d'appartenance à .
Soit f un élément de donc de L1. D'après le point précédent, appartient aussi à L1. Le théorème d'inversion sur L1 s'applique et donne, en notant l'opérateur de composition par –Id :, ce qui prouve que est bijectif et que son inverse est .
Transformation de Fourier pour les distributions tempérées
Remarquons que l'expression de la transformée de Fourier d'une fonction f ressemble au produit scalaire dans entre f et la conjuguée de . Sauf que n'a pas de sens car e2 π ξ n'est pas dans L2. Mais le crochet de dualité des distributions , qui pour les fonctions coïncide avec le produit scalaire de L2, donne sens à cette formulation en tant que produit scalaire.
Cette généralisation va bien plus loin car l'espace des distributions tempérées englobe les différents objets sur lesquels la transformée de Fourier a été définie : fonctions de sommables ou de carré sommable, fonctions de périodiques localement sommables ou localement de carré sommable, suites discrètes sommables, suites discrètes périodiques. La transformée de Fourier sur unifie et généralise les différentes définitions des transformées avec l'unique formalisme des distributions.
Nous allons montrer que la transformée de Fourier sur généralise les notions d'intégrales de Fourier et de séries de Fourier, en analysant successivement ces espaces.
Les fonctions intégrables et les fonctions de carré sommable définissent des distributions tempérées. Montrons que les deux notions possibles de transformée de Fourier coïncident dans le cas L1, puis utilisons cette compatibilité pour l'établir dans le cas L2.
Compatibilité avec L1 et L2 — Soit
et sa transformée de Fourier,
ou bien
et sa transformée de Fourier.
Dans ces deux cas, définit une distribution tempérée égale à la transformée de Fourier de Tf, c'est-à-dire
.
Démonstration
Soit . Il s'agit de vérifier que pour tout ,
,
c'est-à-dire
.
Cela résulte simplement du théorème de Fubini, appliqué à la fonction intégrable .
Les deux applications continues et , de L2 dans l'espace séparé, sont égales car elles coïncident, d'après le point précédent, sur le sous-espace dense L1 ∩ L2.
Enfin, les fonctions périodiques intégrables sur une période sont exactement les fonctions à la fois périodiques et localement intégrables, et donc définissent des distributions régulières.
Compatibilité avec L1per — La transformée de Fourier d'une distribution régulière Tf définie par une fonction T-périodique , est la distribution à support discret correspondant à la suite de ses coefficients de Fourier :
.
Le résultat énoncé ne concerne que les fonctions périodiques de la variable réelle mais s'étend facilement aux fonctions périodiques sur un réseau de ℝN. Comme la transformation de Fourier[Laquelle ?] possède une réciproque définie sur le même domaine, elle est de ce fait bijective, alors la démonstration de ce résultat sera une conséquence du théorème sur les distributions périodiques[Lequel ?].
Les suites, c'est-à-dire les signaux discrets, peuvent parfois s'exprimer comme des distributions sur ℝ à support dans ℤ. À une suite donnée correspond en effet de manière unique une série de masses de Dirac . Lorsque cette suite est sommable, cette série de masses de Dirac a un sens en tant que distribution tempérée d'ordre 0.
Compatibilité de avec l1 — Soit une suite sommable à valeurs complexes notée . Sa transformée de Fourier à temps discret est une fonction 1-périodique qui coïncide avec la transformée de Fourier de la série de masses de Dirac associée à a.
.
Démonstration de la compatibilité de avec l1
Lorsque a est sommable, la somme définit bien une distribution d'ordre 0. En effet, pour une fonction test ,
Par continuité de la transformation de Fourier et formule de la transformée du Dirac ,
.
On retrouve bien la transformée de Fourier en temps discret.
Par densité, la démonstration s'étend aux séries de carré sommable. Notons en outre que la transformation de Fourier des distributions périodiques donne une définition de la transformée de Fourier discrète de suites non nécessairement sommables : les suites à croissance polynomiale.
En particulier, la transformée de Fourier discrète (TFD) s'interprète également comme la transformée d'une distribution tempérée. En effet, une suite finie de N points s'identifie de manière unique avec une suite N-périodique obtenue par périodisation, c'est-à-dire convolution avec un peigne de Dirac.
Compatibilité de avec la TFD — La TFD d'une suite x(•) à l'ordre N est la transformée de Fourier de la distribution à support dans ℤ obtenue par périodisation de x(•) à la période N, c'est-à-dire convolution par un peigne de Dirac WN :
Nous pouvons retenir que formellement, la transformée de Fourier échange discrétisation et périodisation.
Le spectre d'un signal discret x[•] obtenu par échantillonnage à la période T présente un spectre périodique, résultant de la périodisation du spectre du signal continu :
.
Si la multiplication n'est pas définie entre distribution, on donne dans le cas du peigne un sens à , et la formulation de convolution est encore vérifiée : .
Le spectre d'un signal T-périodique xT(•), c'est-à-dire la somme de sa série de Fourier, est celui obtenu par discrétisation du spectre du signal tronqué sur une seule période.
La transformée de Fourier est définie de façon semblable : la variable d'intégration x est remplacée par nΔx, n étant l'indice de sommation, et l'intégrale par la somme. On a alors
Cependant, comme indiqué par l'étude théorique dans la section précédente, un lien direct entre séries et transformées de Fourier est possible par la théorie des distributions. En reprenant de façon plus pratique l'exposé précédent, la transformée de Fourier (définition fréquentielle) d'une fonction périodique f de période T est un peigne de Dirac de période fréquentielle , modulé par des coefficients complexes cn :
où les cn sont précisément les coefficients de la série de Fourier (complexe) de f.
Pour le voir, il suffit de vérifier que la formule de transformation inverse de (définition en fréquences) donne précisément la série de Fourier de f, et donc qu'elle est égale à f presque partout (en supposant que la série de Fourier de f converge).
Cela permet d'unifier le formalisme des séries de Fourier avec celui de la transformation de Fourier.
Par exemple, après quelques manipulations, on a les transformées de Fourier fréquentielles suivantes :
(Dirac décalé) ;
Il y a encore une formule utile qui donne les coefficients de la série de Fourier d'une fonction périodique f dès que l'on connait la transformation de Fourier de sa « restriction » à la période centrale ( existe nécessairement si f est localement intégrable puisque est compacte).
En effet, par comparaison de la formule des coefficients de la série de Fourier de avec celle donnant la transformée de Fourier inverse de , on obtient facilement, pour la définition fréquentielle, que
Pour la définition standard de la transformée de Fourier, cette formule devient avec , et pour la définition pulsatoire, elle devient
Cette formule permet l'utilisation de l'imposante machinerie disponible pour la transformation de Fourier (convolution, décalage, produit, distributions, tables, etc.) pour le calcul des coefficients de Fourier d'une fonction périodique.
On peut ainsi facilement obtenir la série de Fourier de trains d'ondes pulsées de forme carrée, triangulaire, demi-sinusoïdale, etc.
Par exemple, quelle est la série de Fourier correspondant à un train de pulses étroits, de masse 1 et de période T grande relativement à la durée des pulses ?
Approximons chaque pulse par un Dirac . La transformée de Fourier fréquentielle de est la fonction identiquement égale à 1 (voir table ci-dessous). Donc la formule précédente donne
Ainsi la série de Fourier du train de pulses est
Comme on l'a vu plus haut, il est d'autre part possible d'interpréter l'intégrale de la transformée de Fourier comme une somme finie de noscillateurs harmoniques, où n est un entier non standard[5] ; cela revient à identifier (en un sens différent) la transformation de Fourier aux coefficients d'une série de Fourier.
En traitement d'images, on effectue des transformations de Fourier à deux dimensions : si f est une fonction de ℝ2 dans ℝ, sa transformée de Fourier est définie par :
Les tableaux suivants présentent les transformations de Fourier de certaines fonctions. Les transformées de Fourier de f (x), g(x) et h(x) sont notées respectivement f̂, ĝ et ĥ. N'apparaissent que les trois conventions les plus courantes. Il peut être utile de noter que l'entrée sur la dualité indique une relation entre la transformée de Fourier d'une fonction et la fonction d'origine, ce qui peut être considéré comme une relation entre la transformation de Fourier et son inverse.
Les transformées de Fourier de ce tableau sont traitées dans (en) Arthur Erdélyi, Tables of Integral Transforms, Vol. 1, McGraw-Hill, ou (en) David Kammler, A First Course in Fourier Analysis, USA, Prentice Hall, .
Fonction
Transformée de Fourier
ξ est la fréquence
Transformée de Fourier ω = 2πξ est la pulsation ou fréquence angulaire
Transformée de Fourier
définition alternative
Remarques
Définition
Linéarité
Décalage dans le temps
Décalage dans le domaine des fréquences, relation duale de la formule du décalage dans le temps
Changement d'échelle des temps. Si est grand, alors f (ax) est resserré autour de 0 et s'étale et s’aplatit.
Dualité. Ici f̂ doit être calculée en utilisant la même formule que dans la colonne transformation de Fourier. Cela résulte d'un changement de la variable "muette", de x à ξ ou ω ou ν.
Les transformées de Fourier de ce tableau peuvent être trouvées dans les deux références précédentes ou dans (en) George Campbell ; Ronald Foster, Fourier Integrals for Practical Applications, New York, USA, D. Van Nostrand Company, Inc, .
Fonction
Transformée de Fourier
ξ est la fréquence
Transformée de Fourier ω = 2πξ est la pulsation ou fréquence angulaire
Relation duale de la précédente. La fonction porte est un filtre passe-bas idéal, et la fonction sinus cardinal est la réponse impulsionnelle non causale d'un tel filtre. La fonction sinc est la fonction sinus cardinal normalisée :