Inverse

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En mathématiques, l'inverse d'un élément x (s'il existe) est le nom donné à l'élément symétrique, lorsque la loi est notée multiplicativement. Dans le cas réel, il s'agit du nombre qui, multiplié par x, donne 1. On le note x−1 ou 1/x.

Par exemple, dans , l'inverse de 3 est , puisque .

DéfinitionModifier

Soit   un monoïde, c.-à-d. un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, qu'on note  , et d'un élément neutre pour   noté 1.

Un élément   est dit inversible à gauche (respectivement inversible à droite) s'il existe un élément   tel que   (respectivement  )[1].

Il est dit inversible s'il est à la fois inversible à gauche et inversible à droite. L'élément y, qui est alors unique, est appelé l'inverse de x, et est noté x−1[2].

Principaux casModifier

Le plus souvent, quand on parle d'éléments inversibles, on se place dans un groupe ou dans un anneau.

GroupeModifier

Dans un groupe  , la loi de composition interne considérée est   et par définition tous les éléments de   sont inversibles.

Anneau (ou corps)Modifier

Dans un anneau  , la loi de composition interne considérée est   et tous les éléments ne sont pas forcément inversibles.

Les éléments inversibles de l'anneau forment un groupe pour la multiplication de l'anneau, appelé groupe des inversibles de cet anneau, et souvent noté U(A) ou A×.

Un anneau dont tous les éléments sont inversibles, mis à la part le neutre de la loi   (souvent noté  ), est par définition un corps.

ExemplesModifier

Anneaux et corpsModifier

  • Dans l'anneau   des entiers relatifs, seuls 1 et –1 ont un inverse : eux-mêmes respectivement.
  • Dans le corps   des nombres réels et dans le corps   des rationnels, l'inverse de 2 est 12 = 0,5 et l'inverse de 4 est 0,25. La fonction inverse est l'application qui à tout réel non nul associe son inverse.
  • Dans le corps   des nombres complexes, l'inverse de l'unité imaginaire i est –i car i × (–i) = 1. Plus généralement, l'inverse d'un nombre complexe non nul   est le nombre  
  • Dans le corps   des quaternions, l'inverse d'un quaternion non nul   est le quaternion  , où   est le conjugué quaternionique de q, soit  . Attention, la multiplication des quaternions n'est pas commutative.
  • Dans l'anneau (ℤ/nℤ, +, ×), où n ≥ 2, les inversibles sont exactement les éléments   tels que PGCD . En particulier, si n est premier, alors cet anneau est un corps. Par exemple, dans l'anneau ℤ/10ℤ, l'inverse de 3 est 7 (car 3 × 7 = 21 est congru à 1 modulo 10), mais 2 n'a pas d'inverse.
  • Dans l'anneau   des matrices carrées réelles, où n est un naturel fixé, l'ensemble des matrices inversibles est noté  . Par exemple, dans l'anneau des matrices 2×2, la matrice a pour matrice inverse car A×B est égal à la matrice identité d'ordre 2.

Plus généralement, pour une matrice  , son inverse A-1 s'exprime à partir de son déterminant et de sa comatrice :  .

AutresModifier

Dans le monoïde (pour la composition) des applications d'un ensemble fixé dans lui-même, les applications qui possèdent des inverses à gauche sont les injections et celles qui possèdent des inverses à droite sont les surjections. Il en est de même dans l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel.

RemarquesModifier

Attention, lorsque f est à la fois une fonction numérique et une bijection, il ne faut pas confondre l'inverse avec sa bijection réciproque, dont la notation courante est f −1 :

 .

Exemple pour la fonction cosinus   :  .

Somme infinies d'inverses et propriétés intéressantesModifier

Les séries numériques impliquant les inverses des nombres sont des cas d'école

  (série harmonique).
  (série harmonique alternée).
 , et plus généralement, la fonction zêta de Riemann
 , où   est la valeur absolue du nombre de Bernoulli.

Seuls deux nombres complexes sont opposés à leur inverse (soit  ) : i et –i (car ce sont les solutions de  ).

Diviser par un nombre b revient à multiplier par l'inverse de b,  .

Notes et référencesModifier