Trivial (mathématiques)

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En mathématiques, on qualifie de trivial un énoncé dont on juge la vérité évidente à la lecture, ou encore un objet mathématique dont on estime que l'existence va de soi et que son étude n'a pas d'intérêt[1] ; il s'agit donc avant tout d'une notion subjective.

Étymologie et sens actuel en mathématiquesModifier

L'adjectif "trivial" vient du latin "trivialis"[2], lui même dérivé du latin "trivium" qui désignait un carrefour à 3 voies, par opposition à "quadrivium" qui désignait un carrefour à quatre voies.

Au VIe siècle les sept Arts Libéraux sont définis et regroupés en deux familles qui reprennent en bas latin les mots trivium et quadrivium en changeant leur sens initial: le "trivium" rassemble trois arts (la grammaire, la dialectique et la rhétorique)[3] qui constituent le premier cycle des études universitaires[4], et le "quadrivium" en rassemble quatre (l'arithmétique, la musique, la géométrie et l'astronomie).

En langage courant, "trivial" se dit de ce qui est "commun, rebattu, su de tout le monde, répété dans les écoles"[5]. Par extension cet adjectif peut avoir un sens péjoratif et être synonyme de grossier ou vulgaire[6].

Les mathématiciens utilisent, en français comme en anglais, l'adjectif "trivial" dans le sens "évident", "simple"[7], et par extension "sans grand intérêt" . Une propriété ou une affirmation sera ainsi dite triviale si elle répond évidemment à une définition ou aux conditions d'un problème, mais n'a qu'un intérêt intrinsèque mineur[8], ou si elle est d'une démonstration simple, ou si sa connaissance n'apporte rien[8].

Subjectivité du caractère "trivial" en mathématiquesModifier

Le caractère trivial en mathématiques est une notion très subjective: ce qui est évident ou simple, donc trivial, pour l'expert d'un domaine donné peut être très complexe pour toute personne ne maîtrisant pas les concepts permettant de conclure à la trivialité d'une affirmation donnée.

Ainsi une proposition mathématique, qualifiée de "triviale" par un professeur, n'apparaitra parfois vraie à ses élèves qu’après un long travail ; ce n’est qu’ensuite que l'affirmation sera devenue triviale pour eux aussi.

Le physicien américain Richard Feynman s'amuse de l'usage très libéral du terme « trivial » par les mathématiciens[9] ; une plaisanterie circulant parmi eux mentionne le professeur déclarant « ce résultat est trivial », s’interrompant, pris d’un doute, pour aller consulter une référence, et revenant au bout d’une heure en déclarant : « J’avais raison, c’est trivial »[10].

Les exemples ci-dessous illustrent, dans plusieurs domaines mathématiques, l'utilisation qui peut être faite du qualificatif "trivial", en faisant appel à des prérequis différents.

ExemplesModifier

Voir aussiModifier

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Notes et référencesModifier

  1. Définitions lexicographiques et étymologiques de « Trivial » (sens IB) dans le Trésor de la langue française informatisé, sur le site du Centre national de ressources textuelles et lexicales.
  2. « Dictionnaire Littré » (consulté le )
  3. « CNRTL » (consulté le )
  4. « CNRTL » (consulté le )
  5. « Dictionnaire Littré » (consulté le )
  6. « Dictionnaire Hachette » (consulté le )
  7. Certains mathématiciens mettent en garde contre la tentation de considérer trop de propriétés mathématiques comme "évidentes". Le mathématicien américain Eric Temple Bell a ainsi déclaré: "En mathématiques, le mot "évident" est le plus dangereux".
  8. a et b « CNRTL » (consulté le )
  9. (en) Feynman & Richard P, Surely you're joking M Feynman!, New York, W W Norton, , 350 p. (ISBN 0393019217, lire en ligne), p 84-85
  10. Humour mathématique, sur le site de Robert Ferréol.
  11. Plus généralement , les solutions de l'équation différentielle y'=ay sont toutes les fonctions de la forme y=k*exp(ax), avec k=y(0) [1].
  12. Les anglosaxons utilisent le concept de "vacuous truth", notamment pour qualifier les affirmations concernant les éléments appartenant à l'ensemble vide [2]
  13. Voir une démonstration détaillée de ces résultats dans l’article « Ensemble vide ».