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En mathématiques, le produit tensoriel est un moyen commode de coder les objets multilinéaires. Il est utilisé en algèbre, en géométrie différentielle, en géométrie riemannienne, en analyse fonctionnelle et en physique (mécanique des solides, relativité générale et mécanique quantique).

Sommaire

Produit tensoriel d'espaces vectorielsModifier

DéfinitionModifier

Théorème et définition. Soient E et F deux espaces vectoriels sur un corps commutatif K. Il existe un espace vectoriel, noté  , et une application bilinéaire

  (on pose  )

ayant la propriété suivante (dite universelle) : pour tout espace vectoriel G, et pour toute application bilinéaire g de E×F dans G, il existe une et une seule application linéaire   de   dans G telle que

  ou encore  

De plus, cet espace est unique (à isomorphisme près).

L'espace   est le produit tensoriel de E et F, et   est le produit tensoriel de x et y.

Si   et   sont respectivement des bases de E et F, alors   est une base de  . En particulier, si E et F sont de dimension finie,

 

Techniquement, le théorème d'existence et d'unicité est un garde-fou qui permet de se contenter du point de vue des bases.

Produit tensoriel multipleModifier

On peut réitérer l'opération. Le produit tensoriel est associatif : il existe un isomorphisme naturel (c'est-à-dire ne dépendant pas du choix de bases) entre   et  . Cet isomorphisme envoie   sur  . De même, les espaces   et   sont isomorphes. Mais attention : si E = F, l'application bilinéaire

 

n'est pas symétrique. Bien plus, si x et y ne sont pas colinéaires, on a :  

Une situation très fréquente, notamment en géométrie différentielle, est celle où l'on considère des produits tensoriels d'un certain nombre d'exemplaires de E et de son dual. On dit qu'un élément de   est un tenseur p-contravariant et q-covariant, ou plus brièvement un tenseur de type (p,q). L'espace   est aussi noté  [1]

Attention. Les géomètres appellent "covariant" ce que les algébristes appellent "contravariant" et vice-versa. Heureusement, tout le monde est d'accord sur l'appellation type (p,q).

Produit tensoriel d'applications linéairesModifier

Soient   des espaces vectoriels,   et   des applications linéaires. En appliquant la propriété universelle à l'application bilinéaire

  de   dans  ,

on voit qu'il existe une unique application linéaire

  telle que  

.

C'est par définition le produit tensoriel de f et g.

ExemplesModifier

Les exemples ci-dessous emploient la convention de sommation d'Einstein.

Avec cette convention, on n'écrit pas les sommations qui deviennent très vite lourdes à manipuler. On somme les indices répétés deux fois de la quantité appropriée.

Deux exemples fondamentauxModifier

Produit de deux tenseurs covariants d'ordre 1Modifier

Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie sur un corps commutatif K. Le produit tensoriel des formes linéaires

 

est la forme bilinéaire sur E×F donnée par

 

(Rappelons que l'espace vectoriel   s'identifie à  ). En coordonnées, si   et  , alors

 

Produit d'un tenseur covariant et d'un tenseur contravariant, tous deux d'ordre 1Modifier

Soit maintenant   une forme linéaire sur E et v un vecteur de F. Leur produit tensoriel s'identifie à l'application linéaire de E dans F donnée par

 

En coordonnées, si   et  , la matrice de cette application linéaire est  

Cela montre au passage que   s'identifie à  , les éléments décomposés de   correspondant aux applications linéaires de rang 1 de  .

Extension du corps de baseModifier

Soit K un corps commutatif et   un sous-corps de K. À partir de tout espace vectoriel E sur k, on peut construire un espace vectoriel   sur K en posant

 

où le k en indice indique qu'il s'agit d'un produit tensoriel d'espaces vectoriels sur k. Un exemple important est celui où   et  . On dit alors que   est le complexifié de E.

Produit tensoriel de deux tenseurs covariants d'ordres respectifs p et qModifier

Soient   et  . Alors   est la forme  -linéaire sur   définie par

 

En coordonnées,

 

Produit tensoriel de deux tenseurs contravariants d'ordre 1Modifier

Il s'agit donc ici de vecteurs. Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie, et de dimensions respectives p et q, muni de bases respectives   et  . Si (avec la convention d'Einstein)   et  , alors

 

Autrement dit,   est un espace vectoriel de dimension pq dont une base est engendrée par les produits tensoriels deux à deux des vecteurs de base de E et F. En fait, l'espace   et le produit   ne dépendent pas du choix de ces bases. On peut le vérifier directement ou invoquer la définition intrinsèque du produit tensoriel.

Produit tensoriel contractéModifier

ContractionModifier

On peut envoyer   dans   de la façon suivante :

à   on associe   (rappelons que les   sont des vecteurs et les   des formes linéaires). Cette application, définie au départ sur les éléments décomposés de   (c'est-à-dire s'écrivant comme produits tensoriels d'éléments de   et de son dual), se prolonge à l'espace tout entier.

En coordonnées (à condition de prendre sur   la base duale de la base choisie pour  ), cette application s'écrit

 

On a utilisé bien sûr la convention d'Einstein. Ici on a contracté le premier indice contravariant et le premier indice covariant. On peut faire cette opération avec d'autres indices : il y a pq contractions de   dans  


Un produit tensoriel contracté est un produit tensoriel suivi d'une ou plusieurs contractions. Il peut se voir comme une généralisation du produit de matrices.


Application aux changements d'indiceModifier

Soit   une forme bilinéaire non dégénérée. C'est un tenseur de type (0,2). La forme duale   est un tenseur de type (2, 0). Le produit contracté de g (resp.  ) par un tenseur de type (p, q) est un tenseur de type (p – 1, q + 1) (resp. de type (p + 1, q – 1).

En fait, grâce à l'hypothèse de non-dégénérescence, le produit contracté par g est un isomorphisme de   sur   dont l'isomorphisme inverse est le produit contracté par  . Certains auteurs[2] appellent ces isomorphismes isomorphismes musicaux et les notent avec des bémols ou des dièses suivant qu'ils font descendre ou monter les indices. Ils sont très utilisés en géométrie riemannienne ou pseudo-riemannienne.

ExemplesModifier

  • Pour p = q = 1, l'application de   dans K n'est autre que la trace, si on utilise l'identification naturelle entre   et  .
  • Le tenseur de courbure d'une variété riemannienne (M, g) est un tenseur de type (1,3).
    Il aurait donc a priori trois contractions possibles. Mais en raison de ses propriétés de symétrie, la contraction avec le troisième indice covariant donne 0, tandis que le premier et le deuxième donnent des résultats opposés. La courbure de Ricci est l'une de ces contractions (les conventions peuvent varier). En coordonnées
     
    De façon intrinsèque,   est la trace de l'opérateur linéaire  .
  • Sur une variété riemannienne ou pseudo-riemannienne, la divergence d'un tenseur s'obtient en contractant l'indice de dérivation et un autre indice (le plus souvent on travaille avec des tenseurs symétriques ou anti-symétriques, il n'y a alors au signe près qu'une divergence possible). Explicitement, la divergence d'un tenseur T de type (0, p + 1) est le tenseur de type (0, p) donné par
 
  • En physique du solide, la loi de Hooke s'exprime par un produit tensoriel contracté : on a
     
    Ici C désigne le tenseur d'élasticité (symétrique d'ordre 4), e le tenseur des contraintes et S le tenseur des déformations (tous deux symétriques d'ordre 2)[3] (en physique classique, on travaille dans des repères orthonormés, ce qui permet de ne pas respecter les conventions d'indices, puisque l'on peut identifier tous les types de tenseurs de même ordre).

GénéralisationsModifier

Le produit tensoriel peut se définir

BibliographieModifier

Notes et référencesModifier

  1. (en) Marcel Berger, A Panoramic View of Riemannian Geometry [détail de l’édition], p. 796.
  2. (en) Sylvestre Gallot, Dominique Hulin et Jacques Lafontaine, Riemannian Geometry [détail de l’édition].
  3. Richard P. Feynman, Robert B. Leighton (en) et Matthew Sands (en), Le Cours de physique de Feynman [détail de l’édition], Électromagnétisme, 39-2.
  4. (en) Morris W. Hirsch, Differential Topology [détail des éditions].
  5. A. Grothendieck, « Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires », Séminaire Bourbaki,‎ 1951-1954 (lire en ligne), exp. no 69.

Voir aussiModifier