Dérivée partielle

dérivée d'une fonction de plusieurs variables par rapport à l'une de ses variables, les autres variables étant considérées constantes

En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle.

La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée .

Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est :

.

Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .

Dans le cas où la fonction ne dépend que d'une seule variable, la dérivée et la dérivée partielle sont identiques : .

ExempleModifier

Considérons le volume d'un cône   ; il dépend de la hauteur   et du rayon   de la base suivant la formule

 .

La dérivée partielle de   par rapport à   est

 .

Elle décrit la façon dont le volume d'un cône varie si son rayon est changé en maintenant sa hauteur constante.

La dérivée partielle par rapport à   est

 

et représente la façon dont varie le volume si c'est la hauteur du cône qui est changée tout en maintenant le rayon constant.

On peut alors exprimer la façon dont varie le volume si à la fois le rayon et la hauteur du cône sont changés.

 
 
Le point   est le sommet du cône et   est un point du rayon de la base.

Les équations différentielles faisant intervenir des dérivées partielles, appelées équations aux dérivées partielles, se rencontrent dans de multiples contextes en sciences.

Définition formelle et propriétésModifier

Les dérivées partielles sont définies à partir de limites. Leur définition est analogue à celle des dérivées « ordinaires », qu'elles généralisent.

Définition —  Soient   un point de  ,   un voisinage de   dans  , et   une fonction de   variables.

La dérivée partielle (d'ordre 1, ou première) de   au point   par rapport à la  e variable   est, si elle existe, la dérivée directionnelle de   au point   dans la direction du  e vecteur de la base canonique[1], ou encore, la dérivée au point   de la fonction réelle d'une variable réelle   :

 .

Même si toutes les dérivées partielles   existent en un point donné, la fonction peut ne pas être continue en ce point[2]. On dispose toutefois d'une condition suffisante de différentiabilité — et, a fortiori, de continuité — d'une fonction en un point :

Théorème[réf. souhaitée] — Si toutes les dérivées partielles (d'ordre 1) de   sont définies dans un voisinage de   et continues au point  , alors   est différentiable en ce point[3].

Par conséquent, si les dérivées partielles sont définies et continues sur un ouvert   alors la différentielle l'est aussi. Dans ce cas, on dit que   est de classe   sur  .

Le vecteur dont les composantes sont les dérivées partielles premières de   en un point donné   est appelé gradient de   au point   :

  ; on le note aussi   (lire « nabla »).

Si   est de classe  , alors le gradient de   au point  , quand il est non nul, a une interprétation géométrique : il indique la direction selon laquelle   varie le plus vite, la ligne de plus grande pente.

Dérivées partielles d'ordre supérieurModifier

Lorsque la dérivée partielle   est définie au voisinage d'un point, il se peut qu'elle admette elle-même des dérivées partielles d'ordre 1 en ce point : elles sont appelées dérivées partielles d'ordre 2, ou secondes, de   ; la dérivée partielle d'ordre 1 de   au point   par rapport à la  e variable est notée  . On définit de manière analogue des dérivées partielles d'ordre supérieur.

Si   est deux fois dérivable en un point alors toutes les dérivées partielles secondes de   en ce point existent et l'ordre de dérivation peut être changé sans que cela modifie le résultat, d'après le théorème de Schwarz :

 .

Si toutes les dérivées partielles secondes de   sont définies et continues sur un ouvert  , alors (voir supra) la différentielle seconde de   l'est aussi. Dans ce cas, on dit que   est de classe   sur  .

NotationModifier

Le caractère ∂, symbole de la dérivation partielle, est appelé d rond, ou parfois d ronde (à ne pas confondre avec  , le delta minuscule de l'alphabet grec).

Soit   une fonction de  ,   et  .

La dérivée partielle par rapport à la première variable est notée :

 (Chatterji p. 79),  ,   ou  

et celles du second ordre :

 (Chatterji p. 123),  ,  ,   ou  .

Celles du second ordre impliquant deux variables — appelées dérivées mixtes du second ordre[4] — s'écrivent :

 (Chatterji p. 123),  ,   ou  .

et

 (Chatterji p. 123),  ,   ou  .

Quand on a affaire à des fonctions de plusieurs variables, certaines peuvent être reliées les unes aux autres et il peut être nécessaire de spécifier celles qui sont maintenues constantes.

Dans des domaines comme la thermodynamique ou la mécanique statistique, la dérivée partielle de   par rapport à  , les variables   et   étant maintenues constantes, est souvent notée  .

OpérateursModifier

GradientModifier

NablaModifier

LaplacienModifier

Notes et référencesModifier

  1. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 1 : Analyse vectorielle, PPUR, (lire en ligne), p. 79.
  2. Les contre-exemples abondent. Voir celui de S. Sarfati et M. Fegyvères, Mathématiques : méthodes, savoir-faire et astuces, Bréal, (lire en ligne), p. 375-376 (repris par exemple dans F. Cottet-Emard, Analyse, vol. 2, De Boeck Supérieur, (lire en ligne), p. 31 et dans X. Oudot et M. Allano-Chevalier, Maths PCSI-PTSI 1re année, Hachette Éducation, (lire en ligne), p. 493-494) et celui de H. Muller, A. Boisseau et Weidenfeld, Mathématiques PTSI, Bréal, (lire en ligne), p. 447 ou celui, plus simple, de « Différentielles des fonctions de Rp dans Rq » sur Wikiversité.
  3. Démonstration dans « Condition suffisante de différentiabilité d'une fonction définie sur un produit » sur Wikiversité.
  4. Chatterji 1997, p. 121.

Articles connexesModifier