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Morphisme de groupes

Application entre deux groupes préservant leur structure algébrique

Un morphisme de groupes ou homomorphisme de groupes est une application entre deux groupes qui respecte la structure de groupe.

Plus précisément, c'est un morphisme de magmas d'un groupe dans un groupe , c'est-à-dire une application telle que

,

et l'on en déduit alors que

  • f(e) = e' (où e et e' désignent les neutres respectifs de G et G') et
  • xG   f(x−1) = [f(x)]−1.

Un morphisme d'un groupe G dans lui-même est appelé un endomorphisme de G.

On dit que est un isomorphisme de groupes si est un morphisme bijectif. Dans ce cas, est aussi un isomorphisme de groupes. Si de plus , autrement dit si l'isomorphisme est un endomorphisme, on dit que est un automorphisme du groupe .

Un morphisme de groupes transporte la loi de groupe, et va ainsi conserver toutes les propriétés liées à cette loi. Il est donc intéressant d'étudier comment se comportent les principaux objets de la théorie des groupes sous l'effet des morphismes.

Sommaire

ExemplesModifier

  • Le morphisme trivial (en) de G dans G' est l'application constante xe'.
  • La fonction exponentielle complexe  , vérifie : C'est donc un morphisme de groupes de (ℂ, +) dans (ℂ*, ×) et — par restriction — de (ℝ, +) dans (ℝ+*, ×).

Liens avec les sous-groupesModifier

Soit   un morphisme de groupes. Alors[1] :

  • l'image réciproque   de tout sous-groupe   de   est un sous-groupe de  , et si de plus   est normal dans   alors   est normal dans  .
  • l'image directe   de tout sous-groupe   de   est un sous-groupe de  , et si de plus   est normal dans   alors   est normal dans   (donc dans   si   est surjectif).

Noyau et imageModifier

Comme pour toute application, l'image d'un morphisme de groupes   est définie par :

 

et   est surjectif si et seulement si son image est égale à  .

Le noyau (Kern en allemand, kernel en anglais) est plus spécifique aux morphismes. On appelle noyau du morphisme   l'ensemble

 

et   est injectif si et seulement si son noyau est réduit à  .

D'après le § précédent, pour tout morphisme  ,   est un sous-groupe de   et   est un sous-groupe normal de  . De plus, si S est une partie génératrice de G, alors f(S) est une partie génératrice de im(f).

Isomorphismes de groupesModifier

Un isomorphisme de groupes est un morphisme de groupes qui est bijectif.

Lorsqu'il existe un isomorphisme du groupe   vers le groupe  , sa bijection réciproque est un isomorphisme du groupe   vers le groupe   ; on dit alors que les deux groupes sont isomorphes, ce que l'on note  .

Automorphismes de groupeModifier

Un automorphisme de groupe est un morphisme qui est à la fois un isomorphisme de groupes et un endomorphisme de groupe

L'ensemble des automorphismes du groupe G est généralement noté Aut(G). C'est un sous-groupe du groupe des bijections de G dans G (muni de la loi de composition).

Théorèmes d'isomorphismeModifier

Article détaillé : Théorèmes d'isomorphisme.

Les trois théorèmes d'isomorphisme suivants sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment Algèbre universelle#Passage au quotient et théorèmes d'isomorphie.

Premier théorème d'isomorphismeModifier

  induit un isomorphisme du groupe quotient   vers  .

On déduit de ce théorème fondamental deux autres théorèmes d'isomorphisme.

Deuxième théorème d'isomorphismeModifier

Si N est un sous-groupe normal de G et H un sous-groupe de G, alors   est un sous-groupe normal de H et on a l'isomorphisme suivant :

 

Troisième théorème d'isomorphismeModifier

Soient N et M deux sous-groupes normaux de G tels que M soit inclus dans N. Alors N/M est un sous-groupe normal de G/M et on a l'isomorphisme suivant :

 

NoteModifier

  1. Pour une démonstration, voir par exemple le § « Homomorphismes » du cours sur les groupes sur la Wikiversité. Et pour les compléments sur les sous-groupes normaux, voir Sous-groupe normal#Lien avec les morphismes de groupes.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • Josette Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, PUF, 1984.
  • Bernard Charles et Denis Allouch, Algèbre générale, Paris, PUF, 1984.