En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.

DéfinitionModifier

Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.

Première définition

Soit X un espace topologique et   un point de X. Soit   la boule unité de dimension i de l'espace euclidien  . Son bord   est la sphère unité de dimension  .

Le i-ième groupe d'homotopie supérieur   est l'ensemble des classes d'homotopie relative à   d'applications continues   telle que :  .

Un élément de   est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la  -sphère vers le point de référence  , la fonction étant définie modulo homotopie relative à  .

Deuxième définition

En identifiant le bord de la boule   à un point  , on obtient une sphère   et chaque élément de   se définit par les classes d'homotopie des applications   par lesquelles le point base   de la sphère se transforme en  . On peut dire que les éléments du groupe   sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications   pour lesquelles on a :  .

Produit sur l'ensemble des classes d'homotopieModifier

Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule   avec le cube   de dimension i dans ℝi.

La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube   est l'application   définie par la formule :

 

et

 

Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.

On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).

On obtient le groupe fondamental si i = 1.

Propriétés et outilsModifier

Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un coupleModifier

On a une généralisation des groupes d'homotopie.

Soient X un espace topologique, AX et x un point de X.

Soient Ir = [0, 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}).

Le r-ième groupe d'homotopie relatif   est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues   telles que :  ,  ,  , avec des homotopies de même forme.

  •   donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
  • De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
  • On a une suite exacte longue :
     
    i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de   à  .

Suite exacte longue d'homotopie d'une fibrationModifier

Soit p : EB une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :

 .

Homologie et homotopie : le théorème d'HurewiczModifier

Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés   et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés  . Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.

On a un morphisme de groupes naturel  .

Si   sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour   alors :

  • d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que   (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments   avec   et   ; en particulier, si  , alors   est un isomorphisme ;
  • d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe,  , on a   (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.

Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».

Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)Modifier

Théorèmes de périodicité de BottModifier

Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstructionModifier

Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π1.

Méthodes de calculModifier

Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).

Groupes d'homotopie des sphèresModifier

Cas des groupes de LieModifier

Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace (en), est commutatif et l'action du π1 sur les πi est triviale.

Voir aussiModifier

Articles connexesModifier

BibliographieModifier