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Image directe

Sous-ensemble de l'espace d'arrivée d'une application, formée de tous les éléments possédants au moins un antécédent par cette application
Schéma de l'image directe du sous-ensemble A d'une fonction injective mais non surjective (donc non bijective).

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : XY est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

ExemplesModifier

  • On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :
     
  • On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f[1].
  • Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentairesModifier

  • Pour toutes parties   et   de  ,
     
    Plus généralement, pour toute famille   de parties de  ,
     
  • Pour toutes parties   et   de  ,
     
    et cette inclusion peut être stricte, sauf si   est injective[2].
    Plus généralement, pour toute famille non vide   de parties de  ,
     .
  • Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f−1(B) ; plus précisément[2] :
     
    En particulier, si   est surjective alors  .
  • Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :
     
    et cette inclusion peut être stricte, sauf si   est injective[2].

Notes et référencesModifier

  1. Pour éviter toute confusion, Saunders Mac Lane et Garrett Birkhoff, Algèbre [détail des éditions], vol. 1, p. 8, parlent d'une application ensembliste, qu'ils notent f*.
  2. a b et c Pour une démonstration, voir par exemple le corrigé de l'exercice correspondant sur Wikiversité.

Articles connexesModifier