Image directe

L'image directe d'un sous-ensemble A de X par une application f : X → Y est le sous-ensemble de Y formé des éléments qui ont, par f, au moins un antécédent appartenant à A :

Schéma de l'image directe $f(A)$ du sous-ensemble A d'une fonction injective mais non surjective (donc non bijective).

$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}=\{y\in Y\mid \exists a\in A,y=f(a)\}.$

Exemples

• On définit en particulier l'image d'une application f définie sur X :$\mathrm {Im} (f)=f(X).$
• On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie A de X, avec l'image par f d'un élément x de X, ou avec l'image de l'application f.
• Considérons l'application f de {1, 2, 3} dans {a, b, c, d} définie par f(1) = a, f(2) = c et f(3) = d. L'image directe de {2, 3} par f est f({2, 3}) = {c, d} tandis que l'image de f est {a, c, d}.

Propriétés élémentaires

• Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$,$f\left(A_{1}\cup A_{2}\right)=f(A_{1})\cup f(A_{2}).$Plus généralement, pour toute famille $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,$f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i}).$
• Pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$,$f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\subset f(A_{1})\cap f(A_{2})$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective.
  On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A_{1}$ et $A_{2}$ de $X$, on a $f\left(A_{1}\cap A_{2}\right)=f(A_{1})\cap f(A_{2})$.

Plus généralement, pour toute famille non vide $\left(A_{i}\right)_{i\in I}$ de parties de $X$,

$f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subset \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$.

• Toute partie B de Y contient l'image directe de son image réciproque f⁻¹(B) ; plus précisément :$f(f^{-1}(B))=B\cap \mathrm {Im} (f).$En particulier, si $f$ est surjective alors $f(f^{-1}(B))=B$.

On peut même prouver que $f$ est surjective si et seulement si pour toute partie $B$ de $Y$ on a $f(f^{-1}(B))=B$.

(Une démonstration est proposée dans l'article Surjection.)

• Toute partie A de X est contenue dans l'image réciproque de son image directe :$A\subset f^{-1}(f(A))$et cette inclusion peut être stricte, sauf si $f$ est injective. On peut même prouver que $f$ est injective si et seulement si pour toutes parties $A$ de $X$, on a $A=f^{-1}(f(A))$.
• Si l'on considère de plus une application $g:Y\rightarrow Z$, alors l'image directe d'une partie A de X par la composée $g\circ f:X\to Z$ est :

  $(g\circ f)\left(A\right)=g(f(A))$.

Articles connexes

• Théorie naïve des ensembles
• Image d'une partie par une fonction multivaluée (autrement dit : par une relation binaire)