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En mathématiques et en physique, plus précisément en algèbre multilinéaire et en géométrie différentielle, les tenseurs désignent des objets de nature algébrique liés aux espaces vectoriels. Il existe plusieurs visions possibles de la notion. La plus ancienne les définit comme des entités représentables par des tableaux de nombres et met l'accent sur les notions de coordonnées et de transformations de coordonnées. Dans ce sens on peut dans un premier temps (quoiqu'abusivement) considérer qu'un tenseur est une généralisation du concept de matrice avec un nombre quelconque d'indices. Une présentation plus abstraite les définit comme éléments d'espaces algébriques particuliers (produit tensoriels d'espaces vectoriels, voir de modules). Dans les cas où les espaces manipulés sont de dimensions finis, il est usuel d'assimiler les tenseurs à des formes multilinéaires munis d'un produit (dit tensoriel).

Introduction

D'une manière générale, la notion de tenseur peut être pensée comme une généralisation des notions de scalaires (alors appelés tenseurs d'ordre 0) et de vecteurs (tenseurs d'ordre 1 contravariant). Chaque tenseur est donc caractérisé par un entier positif appelé ordre.

Le terme tenseur est par ailleurs souvent utilisé par extension, pour désigner un champ de tenseurs, c'est-à-dire une application qui associe un tenseur à chaque point d'un espace géométrique (c'est à dire un espace dont les points sont informellement parlant considérés comme des localisations, typiquement un espace affine ou plus généralement une variété différentielle). Ce raccourci est assez fréquent en physique où de manière similaire le terme scalaire (respectivement vecteur) peut habituellement désigner un scalaire dépendant du point (respectivement un vecteur dépendant du point), autrement dit un champ scalaire (respectivement un champ de vecteur).

En physique la notion de tenseur apparaît notamment dans le cadre de la mécanique des milieux continus avec la nécessité de décrire les contraintes et les déformations subies par les corps étendus. Ces notions sont formalisées via le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations. Ce sont des exemples de tenseurs non triviaux (c'est à dire d'ordre égal ou supérieur à 2 et donc non assimilable à des scalaires ou à des vecteurs). Outre la mécanique des fluides et mécanique du solide, les tenseurs sont utilisés dans de nombreux autres domaines de la physique. A noter que certaines grandeurs peuvent posséder différentes natures suivant la théorie physique considérée. Le champ électrique est ainsi trivialement un (champs de) vecteur dans l'électromagnétisme classique mais généralement est remplacé par le (champs de) tenseur électromagnétique (d'ordre 2) en relativité.

Les tenseurs sont abondamment utilisés en géométrie différentielle. Par exemple en géométrie riemannienne, le choix d'un (champs de) tenseur métrique, c'est-à-dire un produit scalaire défini sur l'espace tangent de chaque point d'une variété différentielle permet d'y définir les notions géométriques de distance, d'angle et de volume. Le produit scalaire peut également être remplacé par une forme bilinéaire symétrique non dégénérée quelconque. Une généralisation encore plus grande consiste à se passer de forme bilinéaire et d'utiliser une dérivée covariante.

Grâce à ces concepts, sont alors définies et étudiées les questions liées à la courbure de la variété (notamment grâce au tenseur de Riemann ou du tenseur de Ricci).

Histoire

Le mot tenseur est issu de l'anglais d'origine latine tensor, mot introduit en 1846 par William Rowan Hamilton pour décrire la norme dans un système algébrique (finalement nommé algèbre de Clifford). Le mot a été utilisé avec son sens actuel par Woldemar Voigt en 1899.

Le calcul différentiel tensoriel a été développé vers 1890 sous le nom de calcul différentiel absolu, et fut rendu accessible à beaucoup de mathématiciens par la publication par Tullio Levi-Civita 1900 du texte classique de même nom (en italien, suivi de traductions). Au XX^e siècle, le sujet devient connu sous le nom de analyse tensorielle, et acquiert une reconnaissance plus large avec l'introduction de la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein, autour de 1915.

La relativité générale est complètement formulée dans le langage des tenseurs. Einstein a appris à les utiliser, avec quelque difficulté, du géomètre Marcel Grossmann ou peut-être de Levi-Civita lui-même.

Définitions

Définition par les tableaux

Les 64 (= 4³) composantes d'un tenseur d' ordre 3 défini sur un espace vectoriel de dimension 4 dans une base prédéfinie. Les composantes ont la forme générale $T^{ij}{}_{k}$ et sont indexées par les indices contravariants i et j et l' indice covariant k

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ (sur un corps commutatif $\mathbb {K}$). On appelle tenseur d'ordre $\omega \in \mathbb {N}$ un jeu d'association (c'est à dire une application) entre les bases de $V$ et des tableaux comportant $\omega$ indices et contenant des nombres (ou plus précisément des éléments du corps $\mathbb {K}$) soumis à des règles spécifiques.

Pour un tenseur donné, les nombres contenus dans le tableau associé à la base ${\mathcal {B}}$ s'appellent coordonnées ou composantes du tenseur dans ${\mathcal {B}}$. Chaque indice servant à indexer les coordonnées d'un tenseur varie entre 1 et $n$. Un indice est par ailleurs qualifié soit de contravariant lorsqu'il est écrit en indice supérieur, soit de covariant lorsqu'il est écrit en indice inférieur. Un tenseur dont les coordonnées sont indicées par $k$ indices supérieurs et $l$ indices inférieurs est qualifié de tenseur de type $(k,l)$ ou tenseur $k$-contravariant $l$-covariant. Son ordre (ou rang) est donc égal à la somme $\omega =k+l$ et correspond au nombre total d'indices. Un tenseur d'ordre $\omega$ possède donc exactement $n^{\omega }$ coordonnées.

Les différents tableaux représentant un même tenseur doivent répondre à des contraintes particulières qu'on énonce par des formules dites de changement de base et qui dépendent du type du tenseur (c'est à dire de son ordre et de la nature des indices). Inversement, déterminer à quelle formule de changement de base répondent les coordonnées d'un tenseur permet de trouver le type de ce dernier.

Ces régles sont énoncées ci-après. Soient :

• ${\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ et ${\hat {\mathcal {B}}}=({\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n})$ deux bases de $V$,
• $A$ la matrice de passage de ${\mathcal {B}}$ à ${\hat {\mathcal {B}}}$, c'est à dire vérifiant ${\hat {e}}_{p}=\sum _{i=1}^{n}A_{p}^{i}\cdot e_{i}$,
• $B=A^{-1}$ la matrice de passage de ${\hat {\mathcal {B}}}$ à ${\mathcal {B}}$, c'est à dire vérifiant $e_{i}=\sum _{p=1}^{n}B_{i}^{p}\cdot {\hat {e}}_{p}$,
• $T$ un tenseur de type $(k,l)$, de composantes $T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}$ dans la base ${\mathcal {B}}$ et de composantes ${\hat {T}}^{p_{1}\ldots p_{k}}{}_{q_{1}\ldots q_{l}}$ dans la base ${\hat {\mathcal {B}}}$.

Les égalités suivantes (une pour chaque coordonnées) doivent être vérifiées :

${\hat {T}}^{p_{1}\cdots p_{k}}{}_{q_{1}\ldots q_{l}}=\sum _{i_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{i_{k}=1}^{n}\sum _{j_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{j_{l}=1}^{n}\underbrace {B_{i_{1}}^{p_{1}}\ldots B_{i_{k}}^{p_{k}}} _{k{\text{ occurences de B}}}\cdot \underbrace {A_{q_{1}}^{j_{1}}\ldots A_{q_{l}}^{j_{l}}} _{l{\text{ occurences de A}}}\cdot T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\cdots j_{l}}$

On note que les égalités suivantes sont strictement équivalente :

$T^{i_{1}\cdots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}=\sum _{p_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{p_{k}=1}^{n}\sum _{q_{1}=1}^{n}\ldots \sum _{q_{l}=1}^{n}\underbrace {A_{p_{1}}^{i_{1}}\ldots A_{p_{k}}^{i_{k}}} _{k{\text{ occurences de A}}}\cdot \underbrace {B_{j_{1}}^{q_{1}}\ldots B_{j_{l}}^{q_{l}}} _{l{\text{ occurences de B}}}\cdot {\hat {T}}^{p_{1}\ldots p_{k}}{}_{q_{1}\cdots q_{l}}$

Définition comme formes multilinéaires

La vision moderne des tenseurs permet de les définir en dimension finie comme des formes multilinéaires. L'algèbre des tenseurs est appelée algèbre tensorielle ou algèbre multilinéaire. La définition des tenseurs exposée ici est plus intrinsèque, parce qu'elle ne fait pas usage des bases, et est plus utilisée en mathématiques que la précédente.

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n$ sur le corps $\mathbb {K}$. Soit $V^{*}$ son espace dual. On rappelle qu'il s'agit de l'espace vectoriel formé de toutes les formes linéaires définies sur $V$. L'espace $V^{*}$ est aussi de dimension $n$. Les éléments de $V$ et $V^{*}$ sont souvent appelés respectivement vecteurs et covecteurs. Un tenseur de type $(k,l)$ sur $V$ est une forme multilinéaire:

$T:\underbrace {V^{*}\times \ldots \times V^{*}} _{k{\text{ occurences de }}V^{*}}\times \underbrace {V\times \ldots \times V} _{l{\text{ occurences de }}V}\to \mathbb {K}$

Un tenseur $T$ associe ainsi à $k$ covecteurs $\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{k}$ et à $l$ vecteurs $v_{1},\ldots ,v_{l}$ le scalaire $T(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{k},v_{1},\ldots ,v_{l})$ . La multilinéarité impose que la fonction soit linéaire sur chacune de ses $\omega =k+l$ variables.

Définition comme élément d'un produit tensoriel d'espace vectoriel ou de module

La construction la plus abstraite d'un tenseur consiste à le désigner comme un élément d'un module construit par produit tensoriel de modules sur un même anneau commutatif. Cette définition est trés générale puisque permettant de traiter les cas de dimension infinie ainsi que des structures algébriques (les modules) où le concept de dimension n'est en général pas défini.

A noter que dans le cas d'espaces vectoriels de dimension infinie, il est rare d'utiliser le produit tensoriel classique (qui ne permet que des combinaisons linéaires finies). On souhaite (comme souvent avec la dimension infinie) utiliser conjointement des notions topologiques et ce en utilisant des produits tensoriels topologiques. C'est notamment le cas des produits tensoriels d'espaces de Hilbert en mécanique quantique.

Lien entre les définitions

Soit un tenseur $T$ de type $(k,l)$ sur l'espace vectoriel $V$ de dimension finie $n$. Soit ${\mathcal {B}}=(e_{1},\dots ,e_{n})$ une base de $V$. Le dual $V^{*}$ peut alors être muni de la base duale ${\mathcal {B}}^{*}=(e^{1},\dots ,e^{n})$. En appliquant le tenseur $T$ (considéré en tant que forme multilinéaire) sur ces différents vecteurs et covecteurs, on peut définir $n^{k+l}$ coordonnées $T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}$ où chacun des indices varie entre de 1 à n:

$T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}=T(e^{i_{1}},\ldots ,e^{i_{k}},e_{j_{1}},\ldots ,e_{j_{l}})$

Il s'agit précisément des composantes de $T$ dans ${\mathcal {B}}$.

Remarque : $T$ n'est pas (sauf dans le cas particulier où il est de type $(1,0)$) un élément de l'espace vectoriel $V$ si bien que l'expression composantes de $T$ dans ${\mathcal {B}}$ est un abus de langage. Le tenseur $T$ appartient cependant bien à un espace vectoriel : l'espace $V^{\otimes k}\otimes {V^{*}}^{\otimes l}$.

Exemples

Dans les exemples ci-dessous on désigne par ${\mathcal {B}}=(e_{1},\ldots ,e_{n})$ et ${\hat {\mathcal {B}}}=({\hat {e}}_{1},\ldots ,{\hat {e}}_{n})$ deux bases de $V$. On suppose que le changement de base est donné par ${\hat {e}}_{p}=\sum _{i=1}^{n}A_{p}^{i}\cdot e_{i}$ . Leur bases duales respectives sont ${\mathcal {B}}^{*}=(e^{1},\ldots ,e^{n})$ et ${\hat {\mathcal {B}}}^{*}=({\hat {e}}^{1},\ldots ,{\hat {e}}^{n})$ . Ceci implique que ${\hat {e}}^{q}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{q}\cdot e^{j}$ où les matrices $A$ et $B$ sont inverses l'une de l'autre.

Les tenseurs d'ordre 0

Les nombres du corps $\mathbb {K}$ constitue les tenseurs d'ordre 0 (ou de type $(0,0)$).

• On peut les définir comme association d'un même nombre à toute base de $V$. Les formules de changement de base faisant intervenir 0 fois les matrices $A$ et $B$.
• On peut les définir comme formes 0-linéaires. Elles ne s'applique donc à aucun élément de $V$ ou $V^{*}$. La définition par les formes multilinéraires peut ici sembler un peu bancale. On se convaincra qu'ainsi définie, la notion de tenseur d'ordre 0 est cependant cohérente.

Les tenseurs d'ordre 1

Les vecteurs

Les vecteurs de $V$ sont les tenseurs de type $(1,0)$ sur $V$.

• On peut les définir comme association de $n$ coordonnées à une base avec l'interprétation classique de la notion de coordonnées d'un vecteur dans une base.

Soit le vecteur $v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}\cdot e_{i}=\sum _{p=1}^{n}{\hat {v}}^{p}\cdot {\hat {e}}_{p}$, on a alors ${\hat {v}}^{p}=\sum _{i=1}^{n}B_{i}^{p}\cdot v^{i}$

On voit donc que les coordonnées du vecteur $v$ lorsqu'on passe de ${\mathcal {B}}$ à ${\hat {\mathcal {B}}}$ sont données par un transformation impliquant $B$, la matrice inverse de celle permettant de passer de ${\mathcal {B}}$ à ${\hat {\mathcal {B}}}$. C'est la raison du terme contravariant (= qui varie en sens contraire).

• On peut les définir comme forme linéaire sur $V^{*}$. Stricto sensu une telle forme linéaire est un élément de $V^{**}$ (le bidual de $V$). Il est cependant bien connu en algèbre linéaire qu'en dimension fini $V^{**}$ et $V$ sont canoniquement isomorphes. Autrement dit on peut apparier leur éléments de manière unique si bien qu'ils peuvent être vus comme un seul et même espace.

Les covecteurs

Les formes linéaires (ou covecteurs) sont les tenseurs de type $(0,1)$ sur $V$.

• Etant donné une base de $V$ on peut définir sa base duale. Un covecteur admet une unique décomposition en coordonnées sur la base duale. Ces coordonnées correspondent au coordonnées de $\phi$ considéré comme tenseur de type $(0,1)$.

Soit le covecteur $\phi =\sum _{j=1}^{n}\phi _{j}\cdot e^{j}=\sum _{q=1}^{n}{\hat {\phi }}_{q}\cdot {\hat {e}}^{q}$, on a alors ${\hat {\phi }}_{q}=\sum _{j=1}^{n}A_{q}^{j}\cdot \phi _{j}$

On voit donc que les coordonnées du covecteur $\phi$ lorsqu'on passe de ${\mathcal {B}}$ à ${\hat {\mathcal {B}}}$ sont données par un transformation impliquant $A$, la même matrice que celle permettant de passer de ${\mathcal {B}}$ à ${\hat {\mathcal {B}}}$. C'est la raison du terme covariant (= qui varie avec).

• L'interprétation comme forme multilinéaire est ici évidente.

Les tenseurs d'ordre 2

Les applications linéaires

Une application linéaire de $V$ dans $V$ est un tenseur de type $(1,1)$.

• Dans une base donné on peut représenter une application linéaire d'un espace dans lui-même par une matrice carrée.

Soit une application linéaire $S$, $(S_{j}^{i})_{ij}$ sa matrice de coordonnées dans ${\mathcal {B}}$ et $({\hat {S}}_{q}^{p})_{pq}$ sa matrice de coordonnées dans ${\hat {\mathcal {B}}}$ . On a alors, d'aprés les formules de changement de base des matrices ${\hat {S}}_{q}^{p}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{n}B_{i}^{p}\cdot S_{j}^{i}\cdot A_{q}^{j}$

• Si $v$ est un vecteur et $\phi$ un covecteur, la quantité $\phi (S(v))$ est un scalaire linéaire en $\phi$ et en $v$. Ce procédé permet donc de voir naturellement $S$ comme un tenseur de type $(1,1)$ dont l'évaluation en $\phi$ et $v$ pourrait être noté plus classiquement $S(\phi ,u)$. L'espace vectoriel qui le contient est noté $V\otimes V^{*}$. Les notions de déterminant et de trace sont pertinentes pour un tel tenseur.

Les formes bilinéaires

Tout comme les applications linéaire, il est également de les représenter dans une base par des matrices mais il convient de bien distinguer leur comportement en cas de changement de base. Les formes bilinéaires sur $V$ ou tenseurs de type $(0,2)$ appartiennent à l'espace $V^{*}\otimes V^{*}$. On notera qu'un produit scalaire sur $V$ est par définition un tel type de tenseur. Les formes bilinéaires sur $V^{*}$ ou tenseurs de type $(2,0)$ appartiennent à l'espace $V\otimes V$.

Les tenseurs d'ordre 3

Les tenseurs d'ordre 3 peuvent être de type $(3,0)$, $(2,1)$, $(1,2)$ ou $(0,3)$. Ils appartiennent respectivement aux espaces $V^{\otimes 3}=V\otimes V\otimes V$, $V\otimes V\otimes V^{*}$, $V\otimes V^{*}\otimes V^{*}$ et ${V^{*}}^{\otimes 3}=V^{*}\otimes V^{*}\otimes V^{*}$.

Opérations sur les tenseurs

Somme

La somme de deux tenseurs de même type est définie.

• Dans une base donnée ${\mathcal {B}}$, chaque composante du tenseur $R=S+T$ est égale à la somme des composantes correspondantes des deux opérandes.

$R^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}=S^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}+T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}$

• Cette somme existe naturellement du fait que les tenseurs d'un type donné forme un espace vectoriel.

On notera que pour tout type de tenseur sur $V$ il existe un tenseur nul (élément neutre de l'addition).

Multiplication par un scalaire

Le produit d'un tenseur par un scalaire est défini:

• Dans une base donnée ${\mathcal {B}}$, chaque composante du tenseur $R=\lambda \cdot T$ (où $\lambda \in \mathbb {K}$) est égale au produit de la composante correspondante de $T$ par $\lambda$.

$R^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}=\lambda \cdot T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}$

• Encore une fois cette opération existe naturellement du fait que les tenseurs d'un type donné forme un espace vectoriel.

Produit tensoriel

Le produit tensoriel entre $S$ de type $(k,l)$, et $T$ de type $(k',l')$ est un tenseur de type $(k+k',l+l')$ noté $S\otimes T$.

• Dans une base ${\mathcal {B}}$, les composantes du tenseur $P=S\otimes T$ sont calculées par produit de chaque composante de $S$ par chaque composante de $T$. On vérifie bien ainsi que si $S$ possede $n^{k+l}$ composantes et $T$ possède $n^{k'+l'}$ composantes, leur produit tensoriel $P$ en possède $n^{k+k'+l+l'}$.

$P^{i_{1}\cdots i_{k}}{}_{j_{1}\cdots j_{l}}{}^{p_{1}\cdots p_{k'}}{}_{q_{1}\cdots q_{l'}}=S^{i_{1}\cdots i_{k}}{}_{j_{1}\cdots j_{l}}\cdot T^{p_{1}\cdots p_{k'}}{}_{q_{1}\cdots q_{l'}}$

• La définition par les formes multilinéaire consiste à considérer que si $S$ est une forme $\omega$-linéaire et $T$ une forme $\omega$-linéaire, l'application

$P:(\phi ^{1},\ldots \phi ^{k},v_{1},\ldots ,v_{l},\psi ^{1},\ldots \psi ^{k'},w_{1},\ldots ,w_{l'})$ $\mapsto S(\phi ^{1},\ldots \phi ^{k},v_{1},\ldots ,v_{l})\cdot T(\psi ^{1},\ldots \psi ^{k'},w_{1},\ldots ,w_{l'})\in \mathbb {K}$

est une forme $\omega +\omega '$-linéaire, donc un tenseur.

Contraction

Une contraction est une opération linéaire sur un tenseur de type $(k,l)$ dont le résultat est un tenseur de type $(k-1,l-1)$. Elle prend en compte deux indices dont l'un est covariant, l'autre contravariant.

• Les coordonnées du tenseur obtenu par contraction de $T$ de composantes $T^{i_{1}\ldots i_{k}}{}_{j_{1}\ldots j_{l}}$ sur les indices $i$ et $j$ s'obtiennent en sommant ces indices sur toutes les valeurs de 1 à $n$ :

$\sum _{r=1}^{n}T\underbrace {{}^{i_{1}\quad \ldots \quad r\quad \ldots \quad i_{k}}} _{r{\text{ à la place de }}i}\underbrace {{}_{j_{1}\quad \ldots \quad r\quad \ldots \quad j_{l}}} _{r{\text{ à la place de }}j}$

• Sa définition intrinsèque consiste à considérer deux arguments de $T:(\phi ^{1},\ldots ,\phi ^{k},v_{1}\ldots ,v_{l})\mapsto \mathbb {K}$ dont l'un est à valeur dans $V^{*}$ et l'autre dans $V$. Pour une base $(e_{1},\ldots ,e_{n})$ et sa base duale $(e^{1},\ldots ,e^{n})$, l'application

$U:(\underbrace {\phi ^{1},\quad \ldots \quad ,\phi ^{k}} _{{\text{sans position }}i},\underbrace {v_{1},\quad \ldots \quad ,v_{l}} _{{\text{sans position }}j})$ $\mapsto \sum _{r=1}^{n}T(\underbrace {\phi ^{1},\ldots ,e^{r},\ldots ,\phi ^{k}} _{e^{r}{\text{ à la position }}i},\underbrace {v_{1}\ldots ,e_{r},\ldots ,v_{l}} _{e_{r}{\text{ à la position }}j},)$

est un tenseur. Ce tenseur ne dépend pas de la base choisi. C'est le tenseur contracté de $T$ sur les indices $i$ et $j$.

Exemple : La contraction du tenseur $H$ de type $(2,1)$ de coordonnées $H^{ij}{}_{k}$ sur les indices $i$ et $k$ est un vecteur $u$ de coordonnées $u^{j}=\sum _{i=1}^{n}H^{ij}{}_{i}$ dans la même base. On notera qu'il s'agit a priori d'un tenseur différent du vecteur $w$ obtenu par contraction de $H$ sur les indices $j$ et $k$. Les coordonnées de ce dernier dans la base utilisée sont $w^{i}=\sum _{j=1}^{n}H^{ij}{}_{j}$.

Produit tensoriel contracté

Le produit tensoriel contracté entre $S$ de type $(k,l)$ et $T$ de type $(k',l')$, est un tenseur de type $(k+k'-1,l+l'-1)$ obtenu par produit tensoriel puis contraction d'un indice de $S$ et d'un indice de $T$. Une extension de ce produit contracté est le double-produit contracté dont le résultat est un tenseur de type $(k+k'-2,l+l'-2)$, et de manière encore plus général le produit contracté plusieurs fois.

Remarque : Le produit matriciel entre matrices carrés peut être vu comme le résultat du produit contracté entre tenseurs de type $(1,1)$ (et donc résultat lui même de type $(1,1)$) exprimé dans une base donné.

Notations

Soulignement

Quand on veut désigner un tenseur dans sa globalité tout en indiquant l'ordre de ce tenseur, il est une convention possible (notamment en mécanique des milieux continus) consistant à souligner le nom du tenseur d'autant de traits que l'ordre du tenseur. Ainsi, avec cette notation, un vecteur sera noté ${\underline {u}}$ plutôt que ${\vec {u}}$, et un tenseur de contraintes mécaniques (d'ordre 2) sera noté ${\underline {\underline {\sigma }}}$. Ceci est particulièrement utile quand on manipule des tenseurs d'ordres différents, ce qui est le cas en déformation élastique, pour laquelle on caractérise le comportement de déformation des matériaux par un tenseur ${\underline {\underline {\underline {\underline {M}}}}}$ d'ordre 4, et les déformations ${\underline {\underline {\epsilon }}}$ et contraintes ${\underline {\underline {\sigma }}}$ par des tenseurs d'ordre 2. Dans le cas le plus simple de comportement élastique linéaire, ${\underline {\underline {\sigma }}}={\underline {\underline {\underline {\underline {M}}}}}:{\underline {\underline {\epsilon }}}$ où « : » désigne le produit doublement contracté.

Convention d'Einstein

On adopte souvent la notation d'Einstein qui consiste à supprimer le signe de sommation lors d'une contraction et à le considérer comme implicite dès lors qu'un même indice est répété en haut et en bas dans une expression, par exemple

$\sum _{j=1}^{n}T_{i}^{j}\cdot u_{j}$ et $\sum _{j=1}^{n}T_{j}^{i}\cdot \phi ^{\ j}$

se notent respectivement

$T_{i}^{j}\cdot u_{j}$ et $T_{j}^{i}\cdot \phi ^{\ j}$

Avec cette convention, les expressions relatives au produit contracté de deux tenseurs, se noteront de façon simple, comme pour le produit de deux matrices.

Typologie

Exemples en physique

Produit scalaire et tenseur métrique

Champs de tenseurs

Voir aussi

Articles connexes

• Champ tensoriel
• Espace dual
• Produit tensoriel
• Tenseur antisymétrique
• Tenseur de Bel-Robinson
• Tenseur des contraintes
• Tenseur de Cotton-York
• Tenseur des déformations
• Tenseur d'Einstein
• Tenseur électromagnétique
• Tenseur énergie-impulsion
• Tenseur de Killing
• Tenseur de Killing-Yano
• Tenseur de Levi-Civita
• Tenseur (mathématiques)
• Tenseur métrique
• Tenseur de Riemann
• Tenseur de Ricci
• Tenseur symétrique
• Tenseur de Weyl

Bibliographie

• Claude Semay, Bernard Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, Applications à la physique, Dunod, 2007, (ISBN 978-2-10-050552-4)

Liens externes

• http://jgarrigues.perso.ec-marseille.fr/tenseurs.pdf

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