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En algèbre linéaire, deux vecteurs u et v d'un espace vectoriel E sont colinéaires s'il existe un scalaire k tel que u = kv ou v = ku. Deux vecteurs quelconques d'une droite vectorielle sont colinéaires. Quand elle porte sur un couple de vecteurs, la colinéarité est le contraire de l'indépendance linéaire : deux vecteurs u et v sont colinéaires si le couple (u,v) est non libre.

Étymologiquement, colinéaire signifie sur une même ligne : en géométrie classique, deux vecteurs sont colinéaires si on peut en trouver deux représentants situés sur une même droite.

La colinéarité est un outil important en géométrie dans l'enseignement secondaire : un couple de points (A,B) du plan ou de l'espace définit un vecteur géométrique  ; si A et B (resp A' et B') sont des points non confondus, les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. Cette équivalence explique l'importance que prend la colinéarité en géométrie affine.

Sommaire

ExemplesModifier

En toute dimension, si u est le vecteur nul, alors u et v sont colinéaires pour tout v dans E, car u = 0v.

Si u est un vecteur non nul de E, l'ensemble des vecteurs colinéaires à u est la droite Ku.

Dans un espace vectoriel sur le corps F2, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si ils sont égaux.

Géométrie affineModifier

En géométrie affine, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe deux représentants de ces vecteurs situés sur une même droite i.e. il existe trois points A, B, C alignés tels que

  et  

La colinéarité est une notion importante en géométrie affine car elle permet de caractériser

  • L'alignement : les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs   et   sont colinéaires.
  • Le parallélisme de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont parallèles ou confondues si et seulement si les vecteurs   et   sont colinéaires

Relation d'équivalenceModifier

Sur l'ensemble des vecteurs non nuls, la relation de colinéarité est

  • réflexive : un vecteur est colinéaire à lui-même
  • symétrique : Si un vecteur   est colinéaire à un vecteur   alors   est colinéaire à  
  • transitive :Si un vecteur   est colinéaire à   et si   est colinéaire à   alors   est colinéaire à  

Ce qui permet de dire que (sur l'ensemble des vecteurs non nuls) la relation de colinéarité est une relation d'équivalence dont les classes d'équivalence forment l'espace projectif associé à l'espace vectoriel

Calcul en coordonnéesModifier

Soient deux vecteurs u et v dans le plan R2, dont les coordonnées sont u = (u1, u2) et v = (v1, v2). S'ils sont tous deux non nuls, la colinéarité des deux vecteurs u et v se traduit par une relation de proportionnalité entre les couples (u1, u2) et (v1, v2). La règle du produit en croix implique : u et v sont colinéaires si et seulement si u1v2 = u2v1.

Cette équivalence peut se généraliser à la dimension supérieure. Soient u et v deux vecteurs, dont les coordonnées dans une base fixée sont

 
 

Alors u et v sont colinéaires si et seulement si uivj = ujvi pour tout indice i et tout indice j > i.

En phylogénieModifier

En biologie, on parle de colinéarité lors de l'étude du génome d'organisme et d'établissement d'arbres phylogénétiques. La notion de colinéarité correspond en quelque sorte à la synténie, c'est-à-dire au maintien de l'ordre des gènes entre deux génomes.

Voir aussiModifier

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