Théorème de factorisation

En mathématiques, le théorème de factorisation est un principe général qui permet de construire un morphisme d'une structure quotient dans un autre espace à partir d'un morphisme de vers , de façon à factoriser ce dernier par la surjection canonique de passage au quotient.

Le cas des ensemblesModifier

Soit   un ensemble muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique.

Théorème —  Soit   une application telle que (pour toute paire d'éléments x, x' dans X)

 .

Alors, il existe une unique application

 .

De plus :

  •   est injective si et seulement si, réciproquement,   (et donc si  ) ;
  •   est surjective si et seulement si   est surjective ;
  •   est bijective si   est surjective et si  .

(La réciproque est moins utile mais immédiate : pour toute application g : X/RY, la composée f = gs vérifie x R x'f(x) = f(x').)

Ce théorème peut se spécialiser à un certain nombre de structures algébriques ou topologiques.

Le cas des groupesModifier

Sur un groupe  , on considère la relation d'équivalence définie par un sous-groupe normal   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme de groupes et le théorème de factorisation s'énonce

Théorème —  Soit   un morphisme de groupes. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme de groupes   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Le cas des espaces vectorielsModifier

On considère un espace vectoriel   et la relation d'équivalence définie par un sous-espace vectoriel   :   si  . Alors, la surjection canonique   est linéaire.

Théorème —  Soit   une application linéaire. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe une unique application linéaire   telle que  . De plus :

  •   est surjective si   est surjective ;
  •   est injective si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjective et  .

Le cas des anneauxModifier

On considère un anneau   et la relation d'équivalence définie par un idéal bilatère   de   :   si  . Alors, la surjection canonique   est un morphisme d'anneaux.

Théorème —  Soit   un morphisme d'anneaux. Si   est contenu dans le noyau de  , alors il existe un unique morphisme d'anneaux   tel que  . De plus :

  •   est surjectif si   est surjectif ;
  •   est injectif si on a   ;
  •   est un isomorphisme si   est surjectif et  .

Le cas des espaces topologiquesModifier

Soit   un espace topologique muni d'une relation d'équivalence   et   la surjection canonique. On munit   de la topologie quotient. Soit   une application continue.

Théorème —  Si pour tout couple   dans  , on a  , alors il existe une unique application continue   telle que  . De plus :

  •   est surjective si   est surjective ;
  •   est injective si on a   équivalent à   ;
  •   est ouverte (resp. fermée) si   est ouverte (resp. fermée) ;
  •   est un homéomorphisme si   est surjective et ouverte ou fermée, et si  .

RéférencesModifier

Article connexeModifier

Magma quotient