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Volume

grandeur physique extensive
Volume
Description de l'image 4MeasuringSpoons.jpg.
Unités SI mètre cube
Dimension L3
Nature Grandeur scalaire extensive
Symbole usuel V
Conjuguée pression
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Volume (homonymie).

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

  • En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace physique » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.
  • En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace géométrique est sa mesure au sens de la théorie de la mesure de Lebesgue.

Sommaire

Mesure du volumeModifier

 

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Grandeur physiqueModifier

Article détaillé : grandeur d'orientation.

Le volume est une grandeur additive : le volume d'un système physique est la somme des volumes de ses parties. Ce n'est en revanche pas une grandeur algébrique : physiquement, il n'existe pas de « volume négatif » (dont serait fait le sac de voyage de Mary Poppins) dont la superposition avec un système physique de volume positif donnerait un système composé de volume globalement nul, ou du moins réduit : tous les volumes sont de même signe, et par convention, sont comptés positivement. C'est pour cette raison que dans la formule du produit mixte, le résultat est pris en valeur absolue.

L'interprétation physique du produit mixte est qu'un volume physique est le produit scalaire d'une surface par un déplacement :

 

Le déplacement est un vecteur, mais la surface orientée est un pseudovecteur, si bien que le volume ainsi défini est théoriquement une grandeur qui change de signe lorsqu'on fait subir au système une isométrie indirecte (symétrie miroir par exemple). De fait, si par exemple le volume d'une sphère est  , une inversion polaire changera effectivement R en -R et conduira logiquement à un volume négatif. Sur le plan de l'équation aux dimensions, et en tenant compte de la grandeur d'orientation, le déplacement est un vecteur de dimension L·1x et la surface un pseudovecteur de dimension L 2·1y, le produit des deux est un pseudoscalaire de dimension L 3·1z, c'est-à-dire qu'il a le même caractère qu'un flux.

La physique reste effectivement inchangée si tous les volumes sont comptés négativement, mais en pratique les volumes physiques sont comptés positivement, ce qui revient à multiplier le volume au sens précédent par le symbole de Levi-Civita (lui-même en 1z). Le volume d'un corps physique est alors un scalaire vrai, à cause de la convention d'orientation. De même, alors qu'un élément de surface est normalement un pseudovecteur en 1y, la convention d'orientation qui veut que son orientation sur une surface fermée soit dirigée vers l'extérieur revient à le multiplier par la convention d'orientation en 1z, ce qui en fait alors un vecteur vrai en 1x. L'utilisation de cette convention d'orientation peut être problématique dans l'analyse dimensionnelle, parce qu'elle correspond à une grandeur par ailleurs généralement invisible dans les données du problème.

Volume élémentaireModifier

Un domaine de dimension 3 peut généralement être décrit par trois paramètres indépendants u, v et w. Pour tout point   appartenant à ce domaine, le vecteur position   (où O désigne une origine fixe quelconque) a pour différentielle :

 .

Une variation élémentaire   des trois paramètres forme l'élément de volume (ou volume élémentaire)   (ou simplement   si l'on n'a pas besoin de rappeler que trois variables varient indépendamment), défini par :

 .

Le module d'un vecteur position s'exprimant en mètres (m), un élément de volume s'exprime en mètres cubes (m3). Le signe de   est positif si les vecteurs  ,   et  , pris dans cet ordre, forment un trièdre direct, et négatif s'ils forment un trièdre inverse.

Coordonnées cartésiennesModifier

En coordonnées cartésiennes orthonormées, le point courant M est repéré par x, y et z, de telle sorte que :

 

 ,   et   sont les vecteurs unitaires, fixes, de trois axes orthogonaux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On a alors :

 ,   et  .

On en déduit aisément que :

 .

Coordonnées cylindriquesModifier

En coordonnées cylindriques, le point courant M est repéré par r, φ et z, de telle sorte que :

 

  est le vecteur unitaire de l'axe Oz d'un repère orthonormé, tandis que  , vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes  ,   et 0. On a alors :

 ,   et  

  est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes  ,   et 0. Les vecteurs  ,   et   sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

 .

Coordonnées sphériquesModifier

En coordonnées sphériques, le point courant M est repéré par ρ, θ et φ, de telle sorte que :

 

 , vecteur unitaire, a pour coordonnées cartésiennes  ,   et  . On a alors :

 ,   et  

  est le vecteur unitaire de coordonnées cartésiennes  ,   et  , et   celui de coordonnées  ,   et 0. Les vecteurs  ,   et   sont unitaires et orthogonaux deux à deux (et, pris dans cet ordre, forment un trièdre direct). On en déduit aisément que :

 .

Unités de volumeModifier

L'unité de volume du Système international est le mètre cube (m3) et ses dérivés (dm3, cm3, mm3). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

  • le mètre cube dit normal exprimé en m3(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 0 °C ;
  • le mètre cube dit standard exprimé en m3(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 15 °C.

Les volumes décrits ci-dessus correspondent à des volumes dits corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X cubes unité correspond à 8 X cm3.

Article détaillé : Unité de volume.

Quelques formulesModifier

Dans la suite on notera :

  •   le volume d'une figure ;
  •   l'arête ;
  •   et   les aires de la grande base et de la petite base ;
  •   la hauteur (ou distance séparant les deux faces) ;
  •   ou   le diamètre ;
  •   ou   le rayon ;
  •   ou   la longueur et la largeur d'un rectangle.

Les solides de PlatonModifier

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers convexes. Leurs volumes respectifs sont donnés par les formules suivantes :

Polyèdre Volume Figure
Tétraèdre régulier  
Cube  
Octaèdre régulier  
Dodécaèdre régulier  
Icosaèdre régulier  
  est le nombre d'or

Les prismes et cylindresModifier

La formule générale est toujours :   (volume = aire de la base × hauteur), que le prisme ou le cylindre soit droit ou pas.

En particulier,

Les pyramides et cônesModifier

La formule générale est toujours :  

  • Le cône de révolution :  
  • La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base :  

La bouleModifier

  • La boule a pour volume   ou  
  • Pour une calotte sphérique,   ou    est le rayon de la boule,   est le rayon de la calotte et   la hauteur de la calotte.
  • Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur H du cylindre:  
  • Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O :    est la hauteur de la calotte et   le rayon de la boule.

Solides de révolutionModifier

Article détaillé : théorème de Guldin.

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface   plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité   de l'élément de surface  .

   est la distance séparant le point   de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

  • le tore :    est le rayon du cercle de centre   tournant autour de l'axe   et où   est la distance de   à  .
  • le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si   et   sont les surfaces des bases et   la surface de la section à mi-hauteur alors
 

AutresModifier

  • Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) :    est le rayon du cercle de base et   la hauteur du conoïde.
  • Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler :    et   sont les surfaces des deux bases rectangulaires et   la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics.

Volume et calcul intégralModifier

Article détaillé : intégrale multiple.

Si   est une partie bornée de  , le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de  , délimité par le plan   et la surface d'équation   – avec   positive et continue sur   – est :

 

Dans le cas où le domaine   est défini par des conditions simples  ,  , ce calcul se ramène à :

 

Si   est une partie bornée de   et si la fonction constante 1 est intégrable sur  , le volume de   est alors

 

Dans le cas où le domaine   est défini par des conditions simples  ,   et  , ce calcul se ramène à :

 

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine   s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples  , le calcul peut s'exprimer par

   est une partie bornée de  

Si le domaine  s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples  , le calcul peut s'exprimer par

   est une partie bornée de  .

Dans le cas où le domaine   est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation   autour de l'axe  , le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

 

Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

 

  est la frontière de  , et   le vecteur unitaire normal à   dirigé vers l'extérieur de  .

Articles connexesModifier