Espace bidual

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Soit (E,+,.) un K-espace vectoriel, où K désigne un corps commutatif. On définit l'espace bidual de l'espace vectoriel E comme étant l'espace dual E** de l'espace dual E* de E.

Il existe une application linéaire canonique i de E dans son bidual, associant à un vecteur x de E la forme linéaire sur E* définie par pour toute forme linéaire h sur E. Autrement dit :

Lorsque l'espace vectoriel E est de dimension finie, i est un isomorphisme (voir Base duale) et le bidual est canoniquement isomorphe à l'espace vectoriel E ce qui permet en pratique de les identifier.

En dimension infinie, l'axiome du choix permet de montrer que cette application i est injective, mais il est facile de montrer que i n'est jamais un isomorphisme. Le théorème d'Erdős-Kaplansky implique qu'il n'existe même aucun isomorphisme entre E et son bidual.

La construction de i est fonctorielle dans le sens suivant. Pour toute application linéaire , on a l'application duale et donc une application biduale . Alors les applications et vérifient . Moralement, un isomorphisme fonctoriel est compatible avec toute opération linéaire. La fonctorialité est plus précise que la « canonicité ». La fonctorialité pour les isomorphismes signifie l'indépendance vis-à-vis du choix d'une base.

Lorsque E est un espace vectoriel topologique, on prendra garde à l'existence d'une autre notion de dualité (puis de bidualité), qui prend en compte la structure supplémentaire ; on se réfèrera à l'article Dual topologique, et plus spécifiquement à la section intitulée « Bidual (topologique) ».