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Espace vectoriel de dimension finie

Espace vectoriel admettant une famille génératrice finie, et donc une base finie

Sur un corps K, un espace vectoriel E est dit de dimension finie s'il admet une base finie. Il suffit pour cela qu'il admette une famille génératrice finie[1].

Les espaces de dimension finie jouissent de propriétés qui leur sont propres. Les bases duales en sont des exemples.

Sommaire

Bases et dimensionModifier

Tout espace vectoriel E admet une base — c'est-à-dire une famille libre et génératrice — et deux bases quelconques de E ont même cardinalité, appelée la dimension de E. Les articles « Théorème de la base incomplète » et « Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels » présentent, pour chacun de ces deux résultats, une démonstration générale et une démonstration spécifique au cas où E est engendré par un nombre fini n de vecteurs : on peut alors former une base de E en prélevant certains de ces n vecteurs, et le lemme de Steinitz garantit que le nombre de vecteurs de toute famille libre est majoré par celui de toute famille génératrice.

TopologieModifier

PropriétésModifier

RéférenceModifier

  1. (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 91, proposition 3.12.

Voir aussiModifier